След
Отображение Sр K/k поля Кв поле k(где К- расширение k), являющееся гомоморфизмом аддитивных групп и ставящее в соответствие элементу след матрицы k-линейного отображения , переводящего b из Кв ab. Если K/k — сепарабельное расширение, то где si- пробегают все k-изоморфизмы поля Кв алгебраич. замыкание ноля k. Отображение следа обладает свойством транзитивности: если L/К и K/k — конечные расширения, то для любого Л. В. Кузьмин. квадратной матрицы — сумма элементов этой матрицы, стоящих на главной диагонали. С. матрицы А = ||aij|| обозначается tr Аили Sp A: Пусть А- квадратная матрица порядка пнад полем К. С. матрицы Асовпадает с суммой корней характе-ристич. многочлена матрицы А. Если К- поле характеристики 0, то пследов: tr А, . . . ,tr An однозначно определяют характеристич. многочлен матрицы А; в частности, матрица Анильпотентна тогда и только тогда, когда tr Ak = 0 для всех k = 1, . . . , п. Если Аи В — квадратные матрицы одного порядка над полем K, а , то и при det С. тензорного произведения квадратных матриц над полем равен произведению следов сомножителей. Д. А. Супруненко. на С*-алгебре А- функция f на множестве А + положительных элементов алгебры А, принимающая значения в , аддитивная, однородная относительно умножения на положительные числа и удовлетворяющая условию f( хх*)=f( х*х).для всех . f наз. конечным, если для всех ; полуконечным, если f(x)= для всех . Конечные следы на Асуть ограничения на А + таких положительных линейных функционалов j на А, что j(xy) =j(yx). для всех . Пусть f — след на А, -множество таких элементов , что f(xx*)<- множество линейных комбинаций попарных произведений элементов из ; тогда и — самосопряженные двусторонние идеалы в Аи на существует однозначно определенный линейный функционал j, совпадающий с f на А +. Пусть f — полунепрерывный снизу полуконечный след на С*-алгебре А;. формула s(x, y) =j(y*x). определяет на эрмитову форму, и для любого отображение lj(x):у ху пространства в себя непрерывно относительно этой формы. Пусть Nf=, Hf — пополнение факторпространства относительно скалярного произведения, определенного формой s. Операторы lf (х). определяют при переходе к факторпространству и пополнению нек-рые операторы pf(x). в гильбертовом пространстве Hf, и отображение есть представление С*-алгебры Ав Hf. Соответствие есть взаимнооднозначное соответствие между множеством полунепрерывных снизу полукопечных следов на С*- алгебре Аи множеством представлений С*-алгебры А со следом, определенных с точностью до квазиэквивалентности. Лит.:[1] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974. А. И. Штерн. СЛОВО — горизонтальный ряд буке нек-рого алфавита. Напр., ряд знаков "слововалфавите" является С. в алфавите, состоящем из букв с, т, и, в, а, ф, л, о, с. Для удобства к рассмотрению допускается и пустое слово, т. е. С., не содержащее ни одной буквы. Оно является С. в любом алфавите. Возможно, несколько более точной является индуктивная характеризация С., согласно к-рой С. в алфавите Аопределяются как объекты, получающиеся в результате развертывания порождающего процесса, определяемого следующими правилами: а) пустое С. считается С. в алфавите А;б) если объект Роказался С. в алфавите А,ax является буквой этого алфавита, то объект Px также считается С. в алфавите А. Индуктивная характеризация С. делает оправданным применение правила индукции для доказательства утверждений типа всеобщности о С. в данном алфавите. С. представляет собой достаточно общий тип конструктивного объекта, и в силу этого обстоятельства понятие С. играет важную роль в конструктивной математике. Понятие С. широко используется также в алгебраич. исследованиях, работах по математич. лингвистике и т. п. Лит.:[1] Марков А. А., Теория алгорифмов, М.-Л., 1954 ("Тр. матем. ин-та АН СССР", т. 42, с. 12-25). Н. М. Нагорный.