Ранг
Понятие, тесно связанное с понятием базиса. Обычно Р. определяется либо как минимальная из мощностей порождающего множества (так, напр., вводится б а з и с н ы й р а н г а л г е б р а и ч ес к о й с и с т е м ы), либо как максимальная мощность независимой в нек-ром смысле подсистемы элементов. Р а н г с и с т е м ы в е к т о р о в в векторном пространстве над телом — это максимальное число линейно независимых векторов в этой системе (см. Линейная независимость). Р а н г, или р а з м е рн о с т ь, в е к т о р н о г о п р о с т р а н с т в а, в частности, равен числу элементов базиса этого пространства (Р. не зависит от выбора базиса: все базисы имеют одну и ту же мощность). Для модулей ситуация сложнее. Существуют такие ассоциативные кольца R, что даже свободный модуль над Rможет обладать двумя базисами с различным числом элементов (см. , модуля, Свободный модуль). Если каждый свободный R-модуль имеет единственный Р., то говорят, что R обладает свойством инвариантности базисного числа. Таким кольцом является всякое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, что позволяет определить, напр., ранг (Прюфера) абелевой группы (к-рую можно рассматривать как модуль над кольцом ). В неабе-левом случае вводятся два понятия Р. группы — общий и специальный Р. (см. группы). Особым образом определяются ранг алгебраической группы и ранг группы Ли. Р а н г а л г е б р ы (над телом) понимается как Р. ее аддитивного векторного пространства. Однако особо существует еще понятие Р. в теории алгебр Ли (см. алгебры Ли). Р а н г м а т р и ц ы определяется как Р. системы векторов ее строк (с т р о ч н ы й р а н г) или системы ее столбцов (с т о л б ц о в ы й р а н г). Для матриц над телом или коммутативным кольцом с единицей оба эти понятия Р. совпадают. Для матрицы над полем Р. равен также максимальному порядку отличного от нуля минора. Р. произведения матриц не больше Р. каждого из сомножителей. Р. матрицы не меняется при умножении ее на невырожденную матрицу. Р а н г л и н е й н о г о о т о б р а ж е н и я — это размерность образа этого отображения. В конечномерном случае он совпадает с Р. матрицы этого отображения. Вводятся также понятия р а н г а б и л и н е й н о й ф о р м ы (см. Билинейная форма )и р а н г а к в а др а т и ч н о й ф о р м ы (см. Квадратичная форма). Они также (в конечномерном случае) совпадают с Р. матрицы соответствующей формы. О. А. Иванова.