Предел
Одно из основных понятий математики, означающее, что какая-то переменная, зависящая от другой переменной, при определенном изменении последней, неограниченно приближается к нек-рому постоянному значению. Основным при определении П. является понятие близости рассматриваемых объектов: только после его введения П. приобретает точный смысл. С П. связаны основные понятия математич. анализа: непрерывность, производная, дифференциал, интеграл. Одним из простейших случаев П. является П. последовательности. последовательности. Пусть X — топологич. пространство. Последовательность его точек х n, n=1, 2, ... , наз. сходящейся к точке или, что то же самое, точка х 0 наз. пределом данной последовательности, если для любой окрестности Uточки х 0 существует такое натуральное N, что для всех n>N выполняется включение ; при этом пишут В случае, когда X — хаусдорфово пространство, П. последовательности , если он существует, единствен. Для метрич. пространства Xточка х 0 является П. последовательности тогда и только тогда, когда для любого e>0 существует такое натуральное N, что для всех номеров n>N выполняется неравенство r(xn, x0)<e, где r( х п, х 0) — расстояние между точками х п и х 0. Если последовательность точек метрич. пространства сходится, то она ограничена. Последовательность точек полного метрич. пространства является сходящейся в том и только в том случае, когда она фундаментальная. В частности, это верно для числовых последовательностей, для к-рых исторически впервые возникло понятие П. последовательности. Для числовых последовательностей справедливы формулы с — произвольное фиксированное число, а если то Эти свойства числовых последовательностей переносятся на П. последовательностей более общих структур, напр, свойство П. суммы — на последовательности точек линейных топологич. пространств, свойства П. произведения — на последовательности точек топологич. групп и т. д. Если действительные числовые последовательности и сходятся и , n=1, 2, ... , то т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются. Если и , то последовательность zn, n=l, 2, ... , сходится к тому же П.: . Эти свойства обобщаются на П. последовательностей точек упорядоченных множеств. Всякая возрастающая (убывающая) последовательность действительных чисел х п, т. е. такая, что х п х п+1 (соответственно х п х n+1), n=1, 2, ... , ограниченная сверху (снизу), сходится, и ее П. является верхняя (нижняя) грань множества ее значений. Напр., если а>0, k — натуральное число, а п — приближенное значение корня с пдесятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то а п, п=1,2, ... , образуют возрастающую последовательность и Другим примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность периметров правильных многоугольников с псторонами, n=3, 4, ... , вписанных в нек-рую окружность, к длине к-рой и сходится эта последовательность. Особую роль в теории числовых последовательностей играют бесконечно малые последовательности, т.