Метрика
Расстояние на множестве X,- определенная на декартовом произведении функция р с неотрицательными действительными значениями, удовлетворяющая при. любых условиям:1)тогда и только тогда, когда (аксиома тождества);2) (аксиома треугольника);3) (аксиома симметрии). Множество X, на к-ром может быть введена М., наз. метризуемым. Множество X, наделенное некоторой М., наз. метрическим пространством. Примеры. 1) На любом множестве имеется дискретная метрика:2) В пространстве возможны разные М., среди них: здесь 3) В римановом пространстве М. определяется метрическим тензором или дифференциальной квадратичной формой (в нек-ром смысле это — аналог первой М. из примера 2)). Обобщение М. этого типа см. в ст. Финслерово пространство.4) В функциональных пространствах над (би)компактом X также вводятся разные М., напр, равномерная метрика (аналог второй М., из примера 2)), интегральная метрика5) В нормированном пространстве над М. определяется через норму : В нормированном кольце — более сложная формула:6) В метрич. пространстве вводится другая М.- т. н. внутренняя метрика.7) В пространстве замкнутых подмножеств метрич. пространства определяется хаусдорфова метрика. Следует заметить, что в традиционном определении М. условие 3) и требование неотрицательности излишни, т. е. вытекают уже из достаточности условия 1) и условия 2). Если вместо 1) выполняется лишь условие: , если (так что при не всегда ), функция наз. псевдометрикой [2], [3], или отклонением [4]. М. (и даже псевдометрика) позволяет определить ряд дополнительных структур на множестве X. Прежде всего, это — топология (см. Топологическое пространство), кроме того — равномерная (см. Равномерное пространство )или близостная (см. Близости пространство )структуры. Термин М. используется также и для обозначения более общих понятий, к-рые не обладают всеми свойствами 1) — 3), таковы, напр., индефинитная метрика, симметрика и т. д. Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Келли Д ж.-Л., Общая топология, пер. с англ., М., 1968; [3] Куратовский К., Топология, [пер. с англ.], т. 1, М., 1966; [4] Бурбаки Н., Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц., М., 1975. М. И. Войцеховский.