Дискриминант

1) Д. многочлена f(x)=a0xn+a1 х n-1+...+ а n, с корни к-рого равны a1, a2, ... , a п,- произведение Д. равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни. Д. симметричен относительно корней многочлена и поэтому может быть выражен через его коэффициенты. Д. квадратного трехчлена ax2+bx+c равен b2-4ас;Д. многочлена x3+px+q (корни к-рого вычисляются по Кардано формуле )равен -27q2-4р 3. Если f(х) — многочлен над полем характеристики 0, то где R(f,f') — результант многочлена f(x)и его производной f'(x). Производной многочлена f(x) = a0xn +a1xn-1+...+an с коэффициентами из любого поля наз. многочлен па 0 х п-1+ (п-1) а 1 х n-2+...+ an-1. Лит.:[1] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975. И. В. Проскуряков.2) Д. Для кругового поля K=Q(s), где е — примитивный корень р r -й степени из единицы (знак минус берется при р r=4 или p=3(mod 4), а плюс — в остальных случаях). Указанное определение Д. модуля в поле алгебраич. чисел может быть обобщено на тот случай, когда к- поле частных дедекиндова кольца А, a К- конечное еепарабельное расширение поля кстепени п. Пусть В- целое замыкание кольца Ав Ки b — произвольный дробный идеал кольца В. Тогда дискриминантом идеала b наз. А-модуль D(6), порожденный всеми Д. вида D(w1, ... , wn), где пробегает всевозможные базисы поля Кнад к, лежащие в b. D(b) оказывается дробным идеалом кольца А, причем имеет место равенство D(b) = N(b)2D (В), где N(b) — норма идеала b. Д. D(В)совпадает с нормой дифференты кольца Внад А. Лит.:[1] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966; [3] 3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [4] Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947. В. Л. Попов.4) Д. алгебры — Д. симметричной билинейной формы ( х, у)=Т( ху), где х, у- элементы конечномерной ассоциативной алгебры Анад полем F, а Т(а)- главный след элемента определяемый следующим образом. Пусть e1, . . ., е n- к.-л. базис алгебры A, Ф = F(x1, ..., xn) — чисто трансцендентное расширение поля Fс помощью алгебраически независимых элементов x1, ... ,xn, — соответствующее скалярное расширение алгебры А, тогда элемент x=x1e1+....+xn е n ОA Ф наз. общим элементом алгебры А, а минимальный многочлен (над Ф) элемента х- минимальным многочленом алгебры А. Пусть- минимальный многочлен алгебры А; коэффициенты mi(x). оказываются на самом деле многочленами из F[x1, ... , xn]. Если — произвольный элемент из A, то т 1(a1, ... , an)= Т(а)наз. главным следом элемента a, mr(a1, . .. ,a п)=N (а)- главной нормой, а многочлен g(t;a1 , ... ,an).- главным многочленом. Коэффициенты главного многочлена для данного элемента не зависят от выбора базиса, поэтому упомянутая выше билинейная форма ( х, у )на Аопределена инвариантно, в то время как ее Д. определен с точностью до мультипликативного множителя, являющегося квадратом ненулевого элемента из F. Алгебра Асепарабельна (см. Сепарабельная алгебра )тогда и только тогда, когда ее Д. отличен от нуля. Лит.:[1] Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947. Е. Н. Кузьмин.