Этимологический словарь Макса Фасмера
байка
ба́йка
впервые в 1720 г., см. Смирнов 53; ср. польск. baja, bajka "байка". Вероятно, заимств. через голл. baai из франц. baie "шерстяная материя", откуда и нем. Boi – то же. Первоисточником этих слов является лат. badius "каштановый, светлокоричневый"; см. Маценауэр 101; Преобр. 1, 12; Клюге-Гётце 68.