Жордана Разложение

1) Ж. р. функции ограниченной вариации — представление функции f в виде где f1 и f2 — монотонно возрастающие функции. Ж. р. наз. также представление обобщенной меры, или зарядаm(Е)измеримого множества Ев виде разности мер где хотя бы одна из мерm+ или m- конечна. Установлено К. Жорданом. Лит.:[1] Jordan С, Cours d'analyse, t. 1, P., 1893; [2] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974. М. И. Войцеховский.2) Ж. р. эндоморфизма gконечномерного векторного пространства — представление этого эндоморфизма в виде суммы полупростого и нильпотентного эндоморфизмов, коммутирующих между собой: g=gs+gn. Эндоморфизмы gs и gn наз. соответственно полупростой и нильпотентной компонентами Ж. р. эндоморфизма g. Такое представление наз. аддитивным Ж. р. (Полупростой эндоморфизм — эндоморфизм, обладающий при нек-ром расширении основного поля базисом из собственных векторов, нильпотентный — равный в некоторой степени нулю.) Если в нек-ром базисе пространства матрица || а ij|| эндоморфизма gявляется жордановой матрицей, а t- такой эндоморфизм, что в том же базисе его матрица имеет вид ||bij||, где bij=0 при всех и bii=±aii для всех i, то будет Ж. р. эндоморфизма gс gs="и gn=g- t. Ж. р. существует и единственно для любого эндоморфизма gвекторного пространства Vнад алгебраически замкнутым полем К. Более того, gs-P(g)и gn=Q(g)для некоторых многочленов Ри Qнад полем К(зависящих от g)с нулевыми свободными членами. Если Wинвариантное относительно gподпространство в V, то Wинвариантно относительно gs и gn, причем является Ж. р. для g|W (здесь |W обозначает сужение эндоморфизма на подпространство W). Если k- подполе в Ки gрационально над к (относительно некоторой k-структуры на V), то gs и gn не будут, вообще говоря, рациональными над k;можно лишь утверждать, что gs и gn рациональны над полем kp-°°, где , р- характеристическая экспонента поля к(при р = 1 совпадает с к, а при р>1 это — множество всех элементов из К, чисто несепарабельных над k). Если g- автоморфизм пространства V, то gs- также автоморфизм Vи где 1у- тождественный автоморфизм пространства V. Автоморфизм gu является унипотентным, т. е. все его собственные значения равны единице. Всякое представление автоморфизма g в виде произведения коммутирующих полупростого и унипотентного автоморфизмов совпадает с описанным представлением g=gsgu=gugs. Это представление наз. мультипликативным Ж. р. автоморфизма g,a gs и gu- полупростой и унппотентной компонентой автоморфизма g. Если gрационален над k, то gs и ga рациональны над Если W — инвариантное относительно gподпространство в V, то Wинвариантно относительно gs и ga,a — мультипликативное Ж. р. автоморфизма g|W. Понятие Ж. р. может быть обобщено на локально конечные эндоморфизмы бесконечномерного векторного пространства V, т. е. такие эндоморфизмы g, что Vпорождается конечномерными g-инвариантными подпространствами. Для gимеют место существование и единственность представления в виде суммы gs+gn, а в случае автоморфизма — в виде произведения gsgu, коммутирующих локально конечных полупростого и нильпотентного эндоморфизмов (соответственно полупростого и унипотентного автоморфизмов), т. е. таких эндоморфизмов, что любое конечномерное g-инвариантное подпространство Wв Vинвариантно относительно gs и gn (соответственно gs и gu)n g|W= gs|W+gn|W (соответственно g|W=gs|W gu|W есть Ж. р. для gw). Указанное распространение понятия Ж. р. на локально конечные эндоморфизмы позволяет ввести определение Ж. р. в алгебраич. группах и алгебраич. алгебрах Ли. Пусть G- аффинная алгебраич. группа над К,- ее алгебра Ли, р — представление Gв группу автоморфизмов алгебры K[G]. регулярных функций на G, определенное правыми сдвигами, и dp- его дифференциал. Для любых gиз Gи Xиз эндоморфизмы r(g). и dr(X). векторного пространства K[G]являются локально конечными, поэтому можно говорить об их Ж. р.: и Один из важных результатов теории алгебраич. групп состоит в том, что указанные Ж. р. реализуются с помощью элементов из Gи соответственно. Точнее, существуют однозначно определенные элементы gs, и Xs, такие, что и Разложение (1) наз. Ж. р. в алгебраической группе G, а разложение (2) — Ж. р. в алгебраической алгебре Ли Если Gопределена над подполем кполя Ки элемент (соответственно рационален над к, то gs, gu (соответственно Xs, Х п )рациональны над Более того, если Gреализована как замкнутая подгруппа полной линейной группы GL(V)автоморфизмов некоторого конечномерного векторного пространства V[и, следовательно, реализуется как подалгебра в алгебре Ли группы GL(V)], то Ж. р. (1) для элемента совпадает с введенным выше мультипликативным Ж. р. для g, а разложение (2) для — с аддитивным Ж. р. для X(рассматриваемых как эндоморфизмы пространства V). Если j: — рациональный гомоморфизм аффинных алгебраич. групп и dj:- соответствующий гомоморфизм их алгебр Ли, то для любых Понятие Ж. р. в алгебраич. группах и алгебрах Ли позволяет ввести определение полупростого, унипотентного (соответственно нильпотентного) элементов в произвольной аффинной алгебраич. группе (соответственно алгебраич. алгебре Ли). Элемент gО G наз. полупростым, если g=gs, и унипотентным, если g=gu;. элемент наз. полупростым, если Х=Х S, и нильпотентным, если Х=Х п. Пусть Gопределена над к, тогда является А-замкнутым подмножеством в G, а- А-замкнутым подмножеством в У . В общем случае не является замкнутым множеством, но если Gкоммутативна, то Gs и Gu являются замкнутыми подгруппами и G=GSGa. Множества Gs и Gu в произвольной аффинной алгебраич. группе инвариантны относительно внутренних автоморфизмов, и изучение разбиения этих множеств на классы сопряженных элементов составляет предмет специальных исследований [3]. Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Kolchin E. R., "Ann. Math.", 1948, v. 49, p. 1-42; [3] Семинар по алгебраическим группам, пер. с англ., М., 1973. В. Л. Попов.