Замкнутое Отображение

Отображение одного топологич. пространства на другое, при к-ром образ всякого замкнутого множества есть замкнутое множество. Класс непрерывных 3. о. играет важную роль в общей топологии и ее приложениях. Непрерывные замкнутые бикомпактные отображения наз. совершенными. Непрерывное отображение f: f(X)=Y T1 -пространств замкнуто тогда и только тогда, когда разбиение непрерывно в смысле Александрова (непрерывно сверху) или когда для каждого открытого в X множества Uмножество = открыто в U. Последнее свойство лежит в основе определения полунепрерывных сверху многозначных отображений. Т. о., f замкнуто тогда и только тогда, когда обратное (многозначное) отображение непрерывно сверху. Каждое непрерывное отображение бикомпакта на хаусдорфово пространство — 3. о. Каждое непрерывное 3. о. Т 1- пространств факторно; обратное неверно. Ортогональное проектирование плоскости на прямую непрерывно и открыто, но не замкнуто. Также не всякое непрерывное 3. о. открыто. Если f: непрерывно и замкнуто, а Xи У вполне регулярны, то f-1y=[f-1y]bX для любой точки (здесь b Х — Стоуна — Чеха бикомпактное расширение, а — непрерывное продолжение отображения на расширения Стоуна — Чеха пространств Xи Y); в классе нормальных пространств справедливо и обратное. Для непрерывных 3. о. при переходе к образу сохраняются следующие топологич. свойства: нормальность; коллективная нормальность; совершенная нормальность; паракомпактность; слабая паракомпактность. Полная регулярность и сильная паракомпактность могут для непрерывных замкнутых и даже совершенных отображений не сохраняться. При переходе к прообразу для непрерывных 3. о. перечисленные выше свойства могут не сохраняться. Это объясняется тем, что для непрерывного 3. о. прообразы точек могут быть небикомпактными, хотя во многих случаях непрерывные 3. о. мало отличаются от совершенных. Если f — непрерывное 3. о. метрич. пространства Xна пространство У с первой аксиомой счетности, то Yметризуемо, а граница полного прообраза f-1y бикомпактна для любого Если f — непрерывное З. о. метрич. пространства Xна Т 1 -пространство Y, то множество всех точек при к-рых f-1y небикомпактно, д-дискретно. Лит.:[1] Архангельский А. В., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 4, с. 133-84; [2] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [3] Еngelking R., Outline of General Topology, Amst., 1968. В. И. Пономарев