Зацепления Коэффициент

Целое или дробное число, сопоставляемое двум непересекающимся циклам zk-1 и zn-k в многообразии Мразмерности га, классы гомологии к-рых принадлежат подгруппам кручения в целочисленных гомологиях Н k-1( М, Z) и Hn_k(M, Z )соответственно. Простейшим примером является 3. к. двух непересекающихся замкнутых спрямляемых кривых L1, L2 пространства R3, выражаемый так наз. интегралом Гаусса: (здесь х 1 и х 2- радиус-векторы L1 и L2). Понятие 3. к. обобщается на случай замкнутых ориентированных многообразий Mk-1 и Mn-k, расположенных в пространстве Rn: З. к. равен степени отображенияc ориентированного прямого произведения в сферу где c( х, у), есть точка пересечения с Sn-1 луча, отложенного параллельно вектору ( х, у )от начала координат. 3. к. равен пересечения индексу любой k-мернойцепи С k, для к-рой дС k=azk-1, с циклом zn-k, деленному на а. Это число не зависит от выбора пленки С k. Если поменять ролями циклы zk-1 и zn-k, то 3. к. умножится (в ориентируемом случае) на (-l)k(n-k). Если заменить любой из циклов на гомологичный ему в дополнении к другому, то 3. к. не изменится. Этот факт является основой при интерпретации Александера двойственности с помощью зацеплений. При замене одного из циклов на любой гомологичный с ним 3. к. изменяется на целое число, благодаря чему определено спаривание подгрупп кручения в Hk-1(M, Z) и Н п-k( М, Z )со значениями в факторгруппе Q/Z" где Q- рациональные числа. Это спаривание устанавливает между ними Понтрягина двойственность. В частности, для подгруппы кручения в Н т( М,Z) в случае n=2m+1 этим задается невырожденная квадратичная форма самозацеплений со значениями в Q/Z к-рая является гомотопич. инвариантом многообразия. Напр., с ее помощью впервые были обнаружены асимметричные многообразия, а именно, нек-рые линзовые многообразия.3. к. рассматриваются также в случае других областей коэффициентов, напр., если на многообразии действует свободно группа л, то группы гомологии являются групповыми модулями, и значение 3. к. определено в соответствующим образом локализованном групповом кольце. Лит.:[1] Зейферт Г., Трельфаллй В., Топология, пер. с нем., М.-Л., 1938; [2] Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976. А. В. Чертовский.