Этимологический словарь Крылова
зябнуть
Слово, восходящее к общеславянскому zebati, имеющему тот же корень (с иной корневой гласной), что и слово зуб. Переход значения, видимо, связан с тем, что растения дают почки (зубки), а иначе зябнут, еще в холодное время. Таким образом, начальное зябнуть – "давать зубки" переосмыслил ось в "мерзнуть".