Вырожденная Гипергеометрическая Функция

Функция Куммера, функция Похгаммера,- решение вырожденного гипергеометрического уравнения В. г. ф. может быть определена с помощью так наз. ряда Куммера: где и — параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме — комплексное переменное. Функция наз. вырожденной гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение уравнения (1) наз. вырожденной гипергеометрической функцией 2-го рода. В. г. ф. — целая аналитич. функция во всей комплексной плоскости z; при фиксированном z — целая функция и мероморфная функция g с простыми полюсами в точках В. г. ф. — аналитич. функция в комплексной плоскости z с разрезом и целая функция и . В. г. ф. связана с гипергеометрической функцией соотношением Элементарные соотношения. Четыре функции и наз. смежными с функцией . Между и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр., Шесть формул такого типа могут быть получены из соотношений между смежными функциями для гипергео-метрич. функций. Последовательное применение этих рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию с ассоциированными функциями где тип — целые числа. Формула дифференцирования: Основные интегральные представления: Асимптотич. поведение В. г. ф. при может быть изучено с помощью интегральных представлений (см. [1] — [3]). Если , в то время как и ограничены, то поведение функции описывается формулой (2). В частности, при больших и ограниченных и : Представления функций через В. г. ф. Функции Бесселя: Многочлены Лагерра: Интеграл вероятностей: Интегральная показательная функция: Интегральная логарифмическая функция: Гамма-функции: Элементарные функции: См. также [1], [2], [3], [8]. Лит,:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 2], пер. с англ.,2 изд., М., 1973; [2] Градштейн И.