Выметания Метод

Метод решения Дирихле задачи для Лапласа уравнения, развитый А. Пуанкаре (см. [1], [2], а также [4]) и состоящий в следующем. Пусть D — ограниченная область евклидова пространства — граница D. Пусть — мера Дирака, сосредоточенная в точке ; — ньютонов потенциал меры при или логарифмический потенциал меры при . Выметанием меры из области Dна границу Г наз. такая мера на Г, потенциал к-рой совпадает вне Dс , а внутри Dне превосходит ; эта мера единственна и совпадает с гармонической мерой на Г для точки . Аналогично определяется выметание произвольной положительной меры, сосредоточенной на D. Если D — шар, то плотность распределения масс , т. е. производная меры , есть не что иное, как ядро Пуассона (см. Пуассона интеграл). Вообще, если граница Г достаточно гладкая, то мера абсолютно непрерывна и плотность распределения масс совпадает с нормальной производной Грина функции для D. При помощи меры by, решение задачи Дирихле записывается в виде так наз. формулы Валле Пуссена: где — заданная на Г функция. А. Пуанкаре в первоначальном изложении В. м. указывал сначала геометрич. конструкцию процесса выметания для шара; затем, опираясь на Гарнака теоремы и на возможность исчерпания области Dпоследовательностью шаров , он строил бесконечную последовательность потенциалов , в к-рой каждый потенциал получается из предыдущего выметанием масс из области на ее границу и к-рая сходится к решению задачи Дирихле для достаточно гладкой области D(подробное исследование условий применимости В. м. см. в [3]). В современной теории потенциала (см. [5], [6]) проблема выметания трактуется как самостоятельная задача, близкая к задаче Дирихле, причем оказывается возможным рассматривать выметания мер на множества довольно общей природы. Таким образом, в простейшей постановке проблема выметания состоит в нахождении по заданному распределению масс m, внутри замкнутой области такого распределения масс на , чтобы вне потенциалы обоих распределений совпадали. Решением этой проблемы выметания меры в случае гладкой границы Г будет абсолютно непрерывная мера . Ее плотность, или производная записывается при помощи функции Грина области Dв виде где — производная от по направлению внутренней нормали к Г в точке . Внутри области Dдля потенциалов имеет место неравенство т. е. при выметании внутри области потенциал может только убывать. Если — мера Дирака, сосредоточенная в точке , то формула (*) дает , т. е. нормальная производная функции Грина есть плотность меры, полученной выметанием единичной массы, сосредоточенной в точке . Обобщая формулу (*), получают выражение выметенной меры любого борелевского множества в случае произвольной области D: где — гармоническая мера множества Еотносительно области Dв точке х. Если К — произвольный компакт в , а — ограниченная положительная борелевская мера, то выметанием меры на компакт Кназ. такая мера , сосредоточенная на К, что всюду и кваз и всюду на К, т. е. за возможным исключением множества точек внешней емкости нуль, . Эта постановка проблемы выметания, более общая по сравнению с выметанием из области, распространяется и на потенциалы других видов, напр, на бесселевы потенциалы, Рисса потенциалы. Рассматриваются также выметания мер на произвольные борелевские множества K. Близкой к этой постановке является проблема выметания для су пер гармонических функций. Пусть — неотрицательная супергармонич. функция в области . Выметанием для функции vна компакт наз. наибольшая супергармонич. функция такая, что: 1) ее ассоциированная мера сосредоточена на К;2) всюду ; 3) квазнвсюду на К. В потенциала теории абстрактной проблема выметания в обеих постановках получаст решение для множеств Кв произвольных гармонических пространствах X, т. е. в таких локально компактных топологич. пространствах X, к-рые допускают выделение аксиоматически определенного пучка гармонич. функций. Этот аксиоматич. подход позволяет рассматривать проблему выметания для потенциалов, связанных с дифференциальными уравнениями с частными производными более общей природы (см. [7]). Лит.:[1] РоinсаrеН., "Amer. J. Math.", 1890, v. 12, № 3, p. 211-94; [2] его же, Theorie du potentiel Newtonien, P., 1899; [3] La Vallee-Poussin С h. J. de, Le potentiel logarithmique, balayage et representation conforme, Louvain- P., 1949; [4] Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.-Л., 1946; [5] Ландкоф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966; [6] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [7] Constantinescu С., Cornea A., Potential theory on harmonic spaces, В., 1972. Е. Д. Соломенцев.