Вычислительная Математика

Раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ. Содержание термина "В. м." нельзя считать установившимся, так как эта область математики интенсивно развивается в связи с быстро растущими применениями ЭВМ в новых направлениях. Часто термин "В. м." понимается как теория численных методов и алгоритмов решения типовых математич. задач. Это толкование термина "В. м." получило распространение на первоначальном этапе, когда использование ЭВМ предъявило новые требования к численным методам; основной задачей на этом этапе была разработка новых методов, "удобных" для ЭВМ. Ниже В. м. понимается в первом — широком смысле этого термина. В В. м. можно выделить следующие три основных раздела. Первый связан с применением ЭВМ в различных областях научной и практич. деятельности и может быть охарактеризован как анализ матем. моделей. Второй — с разработкой методов и алгоритмов решения типовых математич. задач, возникающих при исследованиях математич. моделей. Третий раздел связан с вопросом об упрощении взаимоотношений человека с ЭВМ, включая теорию и практику программирования задач для ЭВМ, в том числе автоматизацию программирования задач для ЭВМ. Анализ математич. моделей включает в себя изучение постановки задачи, выбор модели, анализ и обработку входной информации, численное решение математич. задач, возникающих при исследовании модели, анализ результатов вычислений и, наконец, вопросы, связанные с реализацией полученных результатов. Задача выбора модели должна решаться с учетом следующего требования. Степень достоверности, с к-рой результаты анализа модели позволяют исследовать конкретное явление (или класс явлений), должна соответствовать точности исходной информации. При этом с появлением возможности получать более точную информацию обычно возникает необходимость совершенствования построенной модели, а в ряде случаев даже коренной ее замены. Для этих задач приобретает существенное значение обработка исходной информации, что в большинстве случаев требует привлечения методов математич. статистики. Математич. модели сыграли важную роль в развитии естествознания; в настоящее время использование математич. моделей является существенным фактором в широком диапазоне человеческой деятельности (в том числе в вопросах планирования, управления, прогнозирования и т. д.). Изучение реальных явлений на основе анализа построенных моделей, как правило, требует развития численных методов и привлечения ЭВМ. Таким образом, в В. м. важное место занимают численные методы решения поставленных математич. задач и в первую очередь типовых математич. задач (В. м. в узком смысле слова). В качестве примера типовых математич. задач, часто встречающихся в приложениях, можно назвать задачи алгебры: здесь большое значение имеют численные методы решения систем линейных алгебраич. уравнений (в частности, больших систем), обращение матриц, нахождение собственных значений матриц (как нескольких первых значений, — частичная проблема собственных значений, так и нахождение всех собственных значений — полная проблема собственных значений). Другие примеры: дифференцирование численное и интегрирование численное функций одного или нескольких переменных; численные методы решения дифферентциальных уравнений обыкновенных, интегральных уравнений, а также изучение и сравнительный анализ численных методов различных типов, например Адамса метод, Рунге — Кутта метод. Значительное число исследований посвящено численным методам решения уравнений с частными производными (см. Гиперболического типа уравнение;численные методы решения, Параболического типа уравнение- численные методы решения, Эллиптического типа уравнение;численные методы решения). Здесь большое направление составляют "экономичные методы", т. с. методы, позволяющие получать результаты при относительно малом (экономном) числе операций. Быстро развивающимся направлением В. м. являются численные методы оптимизации. Задача оптимизации состоит в изучении экстремальных (наибольших или наименьших) значений функционалов на множествах, как правило, весьма сложной структуры (см., напр., Экстремальные задачи;численные методы решения). В первую очередь следует упомянуть задачи математического программирования (в том числе линейного и динамического), к к-рым сводятся многие задачи экономики. К задачам оптимизации примыкают минимаксные задачи (и соответствующие численные методы), возникающие при решении задач исследования операций (см. Исследование операций).и теории игр (см. Игр теория). Особенно сложные задачи типа minmaxminmax возникают при решении многошаговых (динамически развивающихся) игр. Здесь даже математич. эксперимент (проигрывание вариантов поведения играющих) невозможен без использования мощных ЭВМ. Применение ЭВМ к решению сложных задач, в особенности задач больших размеров, вызвало к жизни одно из главных направлений в теории численных методов — исследования устойчивости методов и алгоритмов к различного рода ошибкам (в том числе к ошибкам округления). См. Устойчивость вычислительного алгоритма, Устойчивость вычислительных процессов. Обратные задачи, напр, задача определения элемента хиз уравнения Ах=b при известной информации об операторе Аи элементе b, часто являются неустойчивыми (некорректно поставленными) задачами (малым погрешностям во входных данных могут соответствовать большие погрешности в х). Более того, обратные задачи часто имеют решение не для всех b, поэтому, задавая приближенное значение b, следует учитывать, что формально решение этой задачи может не существовать. Неустойчивые задачи потребовали специального определения понятия приближенных решений и развития соответствующих методов для их нахождения. К неустойчивым задачам относится широкий класс задач, связанных с проблемами автоматизации обработки результатов экспериментов (см. Некорректные задачи;численные методы решения). В большинстве разделов В. м. важное место занимают вопросы оптимизации методов решения задач. Особенно это существенно для задач большого объема (напр., с большим числом переменных). Применение ЭВМ непрерывно расширяет круг пользователей и поэтому возникает тенденция такой степени автоматизации, при к-рой становится менее существенным знакомство пользователей с численными методами. Это предъявляет новые требования к алгоритмам, их классификации и к стандартным программам решения типовых задач. В настоящее время выделился ряд направлений прикладной науки, где современные темпы научно-технич. прогресса были бы немыслимы без развития численных методов и применения ЭВМ (см., напр., Газовой динамики численные методы). Основной задачей теории программирования можно считать облегчение отношений человека с машиной, хотя этот взгляд и конкретные направления исследований претерпевают радикальные изменения с развитием вычислительной техники. Смена ряда поколений вычислительных машин обусловила смену этапов в развитии программирования. От составления программ на внутреннем языке машин программирование быстро перешло к составлению стандартных программ решения типовых задач и комплексов таких программ. При их употреблении для широкого класса задач отпадает необходимость в программировании метода решения; достаточно лишь ограничиться заданием исходной информации. Однако задание такой информации, а также написание нестандартных блоков все равно требуют существенного объема программирования на языке машины (см. Машинно-ориентированный язык). Появление машин следующего поколения с большим быстродействием сопровождалось ростом числа задач, предъявляемых к решению; в результате этого возникло узкое место системы человек — машина: скорость программирования. Это вызвало к жизни новый этап программирования — создание алгоритмических языков с трансляторами для перевода с алгоритмич. языка на внутренний язык машины. Вследствие большой близости алгоритмич. языков к общечеловеческому, их внедрение упростило программирование и существенно расширило круг пользователей. Наряду с созданием универсальных алгоритмич. языков (алгол, фортран) был разработан ряд проблемно-ориентированных языков для определенного круга пользователей, цапр. связанных с задачами обработки эко-номич. информации (кобол). Создание специализированных языков вызвано следующим: универсальные языки и трансляторы, предназначенные для решения широкого класса задач, иногда слабо учитывают специфику отдельных важных классов задач, что снижает эффективность использования всех возможностей машины. При дальнейшем повышении скорости ЭВМ узким местом системы человек — машина стали устройства для ввода и вывода информации; их медленная работа сводила на нет высокопроизводительную работу центрального устройства. Необходимость преодоления этого противоречия явилась одной из причин создания систем одновременного решения на машине нескольких задач. Другой причиной было требование одновременной работы на машине большого коллектива пользователей (в частности, последнее особенно существенно при применении ЭВМ в автоматизированных системах управления — АСУ). Все это вместе с рядом других причин обусловило появление нового этапа программирования — системного программирования. Основной задачей системного программирования является создание операционных систем, управляющих работой машины, программным путем расширяющих возможности машины и предоставляющих пользователю дополнительное обслуживание, не предусмотренное аппаратурой: возможность ввода и вывода одновременно с решением задач, автоматизация редактирования выдачи, вывод графиков, работа с экраном, диалог с машиной, возможность одновременного решения на машине многих задач (система разделения времени). Развитие применения ЭВМ характерно также организацией работы комплексов, включающих большое число машин, в том числе машин различных типов, вводные устройства, каналы связи между машинами и пользователем, а зачастую и физич. установки. Такие высокопроизводительные системы создаются, напр., для решения задач экономики и обработки физич. экспериментов, требующих ввода и обработки большого количества информации. Задача развития вычислительных систем, в частности информационных систем и автоматизированных систем управления, является одной из наиболее актуальных научных проблем. А. Н. Тихонов.