Вычет-форма

Форма-вычет,- обобщение понятия вычета аналитич. функции одного комплексного переменного на случай многих переменных. Пусть X — комплексное аналитич. многообразие, S — его аналитич. одмногообразие комплексной коразмерности 1 и пусть -замкнутая внешняя дифференциальная форма класса на , имеющая на Sполярную особенность 1-го порядка. Последнее означает, что для функции , голоморфной от хв окрестности точки и такой, что форма принадлежит классу . При этих условиях в окрестности Uлюбой точки существуют такие формы класса , что причем есть замкнутая форма класса , зависящая только от . Замкнутая форма на , определяемая в окрестности каждой точки , сужением , наз. вычет-формой формы и обозначается Если форма голоморфна, то и ее В.-ф. голоморфна. Напр., для и формы где f, s- голоморфные функции в , grad на S, В.-ф. равна в точках, где Для В.-ф. имеет место формула вычета: где — произвольный цикл в Sразмерности, равной степени , — цикл в — граница нек-рой цепи в X, находящейся в общем положении с Sи пересекающейся с Кратная В.-ф. определяется по индукции. Вычет-класc (или класс-вычет) замкнутой в формы есть класс когомологий подмногообразия S, образованный В.-ф. форм класса в , когомологичных и имеющих на Sполярную особенность 1-го порядка. Вычет-класс формы обозначается Вычет-класс голоморфной формы может не содержать голоморфной формы, так что в общем случае нельзя ограничиться рассмотрением кольца голоморфных форм вместо кольца замкнутых форм. Однако это возможно, если X — Штейна многообразие. Вычет-класс не зависит от выбора со из одного и того же класса когомологий и осуществляет гомоморфизм группы классов когомологий многообразия в группу классов когомологий многообразия S: Как и для В.-ф., справедлива формула вычета: причем интеграл в правой части берется от любой формы из вычет-класса Res [w] и не зависит от ее выбора. Лит. см. при ст. Вычет аналитической функции [7], [8], [4]. А. П. Южаков.