Возмущений Теория

Комплекс методов исследования различных задач, используемый во многих разделах математики, механики, физики и техники. Здесь с общей точки зрения излагаются основные идеи В. т. В. т. основана на возможности приближенного описания исследуемой системы с помощью нек-рой специальным образом выбираемой "идеальной" системы, допускающей корректное и полное изучение. Одним из признаков применимости В. т. в одной из ее форм, определяемой спецификой конкретной задачи, для к-рой В. т. разрабатывается, является условие того, что уравнения, описывающие исследуемый процесс, содержат в явной или неявной форме малый параметр (или несколько таких параметров). При этом требуется, чтобы при нулевом значении малого параметра уравнения допускали точное решение, и таким образом проблема сводится к нахождению асимптотики наилучшего приближения к истинному решению с точностью до e, e 2, ... . 1) В. т. впервые была предложена для решения проблем небесной механики, связанных с изучением движения планет в солнечной системе. Удаленность планет друг от друга и малая величина их массы в сравнении с массой Солнца позволяют пренебрегать гравитационным взаимодействием планет между собой и рассматривать их движение (в первом приближении) по орбитам Кеплера, определяемым из уравнений двух тел задачи- планеты и Солнца. Существенное уточнение астрономич. данных сформулировало проблему учета влияния других планет на движение одной из них вокруг Солнца. Так возникла классическая трех тел задача, причем, напр., при изучении системы Луна — Земля — Солнце в качестве малого параметра выбиралось отношение масс Луны и Земли. Начиная с трудов Ж. Лагранжа (J. Lagrange), П. Лапласа (P. Laplace) было выдвинуто представление о том, что постоянные величины, характеризующие движение планеты вокруг Солнца, ввиду влияния движения других планет как бы "возмущаются" и претерпевают изменения, зависящие от времени; отсюда идет и наименование "теория возмущений". В. т. занимала внимание классиков Ж. Лагранжа, П. Лапласа, С. Пуассона (S. Poisson), К. Гаусса (С. Gauss) и в результате их работ оказалось возможным проводить вычисления с чрезвычайно большой точностью. Триумфом В. т. явилось открытие планеты Нептун (1848) Дж. Адамсом (J. Adams) и У. Леверье (U. Le Verrier) из анализа отклонений в движении планеты Уран. Трудности первоначально разработанных методов В. т. были обусловлены наличием в получающихся разложениях членов, содержащих время tвне знака синуса или косинуса. Вклад таких членов в ряд В. т. существен лишь за длительные промежутки времени (порядка столетий), но и в этом случае невозможно строгое описание планетных движений в схеме В. т.- приемлемым является только первое приближение. Появление так наз. секудярных членов обусловлено зависимостью частоты движения (обращения) исследуемой планеты от соответствующих частот других планет. Учет такого рода зависимости и приводит к возникновению в решениях как секулярных (вида ), так и смешанных (вида ) членов. Напр., соотношение в схеме В. т. допускает следующее разложение по смешанный член в к-ром появляется в результате разложения колебания с частотой (1) по колебаниям с частотой w0. Создание специальных методов В. т., устраняющих секулярные члены, т. е. позволяющих представить решение в чисто тригонометрич. виде, связано с работами Линдштедта (Lindstedt), П. Гульдина (P. Guldin), Ш. по степеням возмущения . Тогда для возмущения n-состояния В. т. дает следующий результат: Здесь — матричный элемент оператора возмущения, определяемый согласно правилу : где — элемент объема. Условие применимости В. т. к таким задачам: нарушается в случае вырождения уровня энергии невозмущенной системы: вырожденному уровню энергии отвечает s состояний (s — кратность вырождения). В этом случае применяется нек-рая модификация В. т.: вначале учитывают влияние возмущения на вырожденные состояния, а влияние других уровней рассматривается как малое возмущение; строятся линейные комбинации s функций вырожденного состояния, причем для коэффициентов построенной комбинации получены уравнения вида Поправка к энергии находится из секулярного уравнения системы (9). Решения этого уравнения s-й степени представляют в (9) и находят и волновую функцию: соответствующую энергии после снятия вырождения. Поправки следующего порядка находят методами обычной В. т. В нестационарном случае задача В. т. ставится в терминах вероятностей перехода из состояния в состояние . В. т. может применяться в гейзенберговском, шрёдингеровском представлениях или же в представлении взаимодействия. В квантовой механике есть также принципиально другого типа задачи о нахождении так наз. рассеяния матрицы двух или нескольких частиц. В особенности такие задачи важны для квантовой электродинамики, где имеется малый параметр — постоянная тонкой структуры. Проблема вычисления вероятностей перехода сводится к исследованию гамильтониана вида: где — свободный гамильтониан, а — гамильтониан взаимодействия, к-рый по предположению включается в "отдаленном прошлом" и выключается в "отдаленном будущем". В представлении взаимодействия Шрёдингера уравнение имеет вид: Посредством замены переменных можно получить для состояния уравнение где Связь между начальными состояниями , описывающими "входящие" частицы, и конечными состояниями , описывающими "выходящие" частицы, формулируется в терминах так наз. оператора рассеяния S, определяемого соотношением вида: Формально решение уравнения (10) можно построить методом последовательных приближений в виде разложения по степеням малости взаимодействия: В квантовой теории поля справедлива аналогичная формула, в к-рую вместо входит соответствующая плотность лагранжиана, причем используется представление S-оператора через T-произведение: Действие оператора хронологического упорядочения Топределяется правилами: причем это Т- произведение формально не определено для совпадающих аргументов. Для преодоления такого рода трудностей, возникающих в методе В. т. в квантовой теории поля, созданы специальные методы регуляризации. Релятивистски инвариантная В. т. используется для вычисления так наз. S-матрицы, элементы к-рой определяют вероятности переходов между квантовыми состояниями различных полей под влиянием взаимодействия между ними. Лит.:[1] РоinсаreН., Les methodes nouvelles de la mdcanique celeste, P., t, 1-3, 1892-97; Пуанкаре А., Избр. труды, т. 1- 3, M., 1971-74; [2] Шарлье К., Небесная механика, пер. с нем., М., 1966; [3] Биркгоф Дж. Д., Динамические системы, пер. с англ., М.-Л., 1941; [4] Колмогоров А. Н., О динамических системах с интегральным инвариантом на торе, "Докл. АН СССР", 1953, т. 93, № 5; [5] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974; [6] Мозер Ю., Лекции о гамильтоновых системах, пер. с англ., М., 1973; [7] Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М., в кн.: Збiрник праць з нелiнйноi механiки, К., 1937, с. 55-112; [8] их же, Введение в нелинейную механику, К., 1937; [9] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю.