Вороного Типы Решеток

Типы точечных решеток n -мерного евклидова пространства Е n, введенные Г. Ф. Вороным в 1908 (см. [1]) в связи с задачей о параллелоэдрах. Множество точек в наз. (r, R )-системой, если в нем нет точек ближе чем на фиксированном расстоянии друг от друга, и всякий шар радиуса, большего чем фиксированное R, содержит хотя бы одну точку из е. Пусть D- выпуклый многогранник области Дирихле точки из системы , т. е. области точек пространства, к-рые отстоят от какой-либо точки системы не дальше, чем от всех других ее точек. Области Дирихле точек (r, R)-системы c попарно не имеют общих внутренних точек, покрывают все пространство (т. е. образуют разбиение) и смежны целыми гранями (т. е. составляют нормальное разбиение). С той же системой можно связать дуальное к тоже нормальное разбиение на многогранники L(вписанные в сферы), каждый из к-рых есть выпуклая оболочка точек системы , соответствующих всем D, сходящимся в вершине разбиения . Две к-мерные точечные решетки относятся к одному типу Вороного, когда их разбиения аффин-ны друг другу. Если репер таков, что при любых достаточно малых изменениях его метрич. параметров (скалярных квадратов и скалярных произведений () его векторов) разбиение решетки, построенной на измененном репере, получается из разбиения решетки, построенной на исходном репере тем же аффинным преобразованием, к-рое переводит исходный репер в измененный репер, то репер наз. примитивным или общим. Для этого необходимо и достаточно, чтобы разбиение для исходного репера было симплициальным. Точка Мпространства параметров (где ), соответствующая такому реперу тоже наз. общей. Полная линейно связная область Д, содержащая общую точку, в к-рой разбиения для всех ее точек получаются из разбиения для решетки, построенной на репере, соответствующем точке М, теми же аффинными преобразованиями, при помощи к-рых реперы, соответствующие этим точкам, получаются из репера, соответствующего точке М, наз. областью типа точки М. Г. Ф. Вороной доказал, что в область имеет вид выпуклого многогранного угла (гоноэдра) с вершиной в начале координат и с конечным числом граней и что для любого заданного псуществует лишь конечное число y неэквивалентных областей . Он дал также алгорифм для их нахождения (см. [1]). Для n=1, 2, 3, 4 число y равно соответственно 1, 1, 1, 3. Г. Ф. Вороной доказал также, что самое общее (т. е. не обязательно разбиение Дирихле) нормальное разбиение на одинаковые выпуклые и параллельно расположенные многогранники, сходящиеся по n+1 в вершинах (примитивные параллелоэдры), есть аффинный образ разбиения для решетки, и свел, таким образом, изучение этих параллелоэдров к теории квадратичных .форм. Для непримитивных параллелоэдров (т. е. в случае, когда в нек-рых вершинах сходится больше чем n+l параллелоэдр) вопрос о воз-можности их аффинно преобразовать в область Dрешетки для произвольного ппока (1977) открыт. Известно только его положительное решение для n=2, 3, 4 (см. [2] ). Примитивная область Dдля двумерной решетки есть выпуклый шестиугольник с центром симметрии, вписанный в круг, и обратно. В случае трехмерной решетки это нек-рый 14-гранник, комбинаторно такой же, как кубооктаэдр с восмью шестиугольными и шестью четырехугольными гранями, грани к-рого имеют центры симметрии, и такой, что отрезки, идущие из его центра в центры граней, перпендикулярны к граням, и обратно. Непримитивная область Dпри n=2 -прямоугольник, а при n=3- или додекаэдр с четырьмя шестиугольными и восмью параллелограмматич. гранями, или параллело-грамматич. додекаэдр, или прямая шестиугольная призма с основанием-примитивным двумерным D, или прямоугольный параллелепипед. Для n=4 имеется 3 примитивных Dразных В. т. р. и 49 непримитивных. При переходе к n=5 происходит скачок — для n=5 уже 221 различных примитивных D(см. [4]). Этот результат был получен введением нового понятия C- типа решетки: в один С-тип относят те решетки, у к-рых аффинны друг другу не сами разбиения , а лишь их одномерные остовы. Лит.:[1] Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952, с. 239-368; [2] Делоне Б. Н., "Изв. АН СССР, 7 сер., Отд. В из.-матем. наук", 1929, № 1, с. 79-110; № 2, с. 147-64; [3] его же, "Успехи матем. наук", 1937, в. 3, с. 16-62; 1938, в. 4, с. 102-64; [4] Рышков С. С., Барановский Е. П., "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1975, т. 137, с. 1 — 133. Б. Н. Делоне.