ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

В механике, линейное однородное дифф. ур-ние в частных производных, описывающее распространение волн в среде; имеет вид:

где t — время, х, у, z — пространственные декартовы координаты, W= W(х, у, z, t) — ф-ция, характеризующая возмущение среды в точке с координатами х, у, z в момент времени t, с — параметр с размерностью скорости, ( — оператор Д'Аламбера (даламбертиан), D — оператор Лапласа (лапласиан).

Частными видами В. у. (1) явл. двухмерное и одномерное В. у.; последнее совпадает с ур-нием колебаний идеально упругой струны:

решение к-рого может быть представлено в виде двух волн, перемещающихся в пр-ве со скоростью с:

W=f1(x+ct)+ f2(x-ct). (3)

Каждая из этих волн и составляет моду, распространяющуюся только в одном направлении (±х) и удовлетворяющую В. у. 1-го порядка (ур-нию волны):

В. у. (1) допускает разделение переменных по координатам и времени: W=W1(x,y,z)j(t). При гармонич. зависимости от времени, выраженной с помощью комплексной записи j=еiwt, где (w=kc, k — волн. число (см. КОМПЛЕКСНАЯ АМПЛИТУДА). В. у. превращается в ур-ние Гельмгольца:

DW+k2W =0, (5)

к-рое в двухмерном случае даёт ур-ние мембраны, а в одномерном — ур-ние осциллятора.

В. у. наз. неоднородным, если в его правой части стоит заданная ф-ция координат и времени, т. е.

W=f(x, y, z, t). (6)

В отличие от однородного В. у. неоднородное В. у., помимо собств. решений — нормальных волн, существующих независимо от источника, имеет и вынужденное решение, описывающее движения (колебания, волны и др.), возбуждённые источниками.

В. у. описывает почти все разновидности малых колебаний в распределённых механич. системах (продольные звук. колебания в газе, жидкости, тв. теле, поперечные колебания в струнах, на поверхности воды и др.). В. у. удовлетворяют компоненты векторов эл.-магн. поля и потенциалов, и поэтому многие явления эл.-магн. поля (от квазистатических до оптики) описываются с его помощью.

Среди нелинейных обобщений В. у. наиболее известны нелинейное ур-ние Клейна — Гордона:

W = m2W+F(W) (7)

(т — масса ч-цы), к-рое при F ®0 вырождается в Клейна — Гордона — Фока уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца:

DW + k2W=F(?W?2)W. (8)

Нелинейные В. у. позволяют описать такие явления, как вз-ствие монохроматич. волн, возникновение и эволюцию ударных волн и солитонов, самофокусировку. В квантовой механике В. у. иногда наз. Шрёдингера уравнение.