Витта Кольцо

Поля k, кольцо типов квадратичных форм над k,- кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для некоторых нейтральных квадратичных форм g1 и g2 ортогональная прямая сумма форм f1 и g1 изометрична ортогональной прямой сумме f2 и g2. Операции сложения и умножения в индуцируются взятием ортогональной прямой суммы и тензорного произведения форм. Пусть характеристика поля kотлична от 2. Тогда определение эквивалентности форм равносильно следующему: тогда и только тогда, когда анизотропные формы соответствующие (см. Витта разложение), изометричны. Класс эквивалентности формы f наз. ее типом и обозначается [f]. В. к., или кольцо типов квадратичных форм, есть ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Единицей кольца является тип формы (1). [Здесь через (a1, ..., an) обозначается квадратичная форма Нулем служит тип нулевой формы ранга нуль, содержащий также все нейтральные формы. Противоположным к тжшу является тип . Аддитивная группа кольца W(k).наз. группой Витта поля k, или группой типов квадратичных форм над k. Типы квадратичных форм вида (а), где а — элемент мультипликативной группы поля k, порождают кольцо . Причем полностью определяется в этих образующих соотношениями: В. к. можно описать как кольцо, изоморфное фактор-кольцу целочисленного группового кольца группы по идеалу, порожденному элементами где — смежный класс элемента хпо подгруппе В ряде случаев В. к. вычисляется явно: напр., если k — квадратично (в частности, алгебраически) замкнутое поле, то если k — вещественно замкнутое поле, то (изоморфизм осуществляется сопоставлением типу [f] сигнатуры формы f); если k — пифагорово поле (т. е. сумма любых двух квадратов в kявляется квадратом) и не вещественно, то если k — конечное поле, то кольцо W(k).изоморфно либо кольцу вычетов , либо если k — полное локальное поле и его поле классов имеет характеристику, отличную от 2, то Расширение поля определяет гомоморфизм колец Витта при котором . Если расширение конечно и имеет нечетную степень, то — мономорфизм, а если, кроме того, оно является Галуа расширением с группой G, то действие группы Gпродолжается на W(k).и Общие свойства В. к. описываются теоремой Пфистера: 1) для любого поля kпериодическая подгруппа группы 2-примарна; 2) если k — вещественное поле, а — его пифагорово замыкание (т. е. наименьшее пифагорово поле, содержащее k), то точна последовательность (при этом, если Wt(k)=0, то поле k- пифагорово); 3) если — семейство всех вещественных замыканий поля k, то точна последовательность в частности, 4) если k — не вещественное поле, то группа периодическая. Ряд других результатов относится к мультипликативной теории форм. В частности, пусть т — множество типов квадратичных форм на четномерных пространствах. Тогда тявляется двусторонним идеалом в W(k).и идеал от содержит все делители нуля кольца множество нильпотентных элементов кольца совпадает с множеством элементов конечного порядка идеала тп является радикалом Джекоб-сона и первичным радикалом кольца . Кольцо конечно тогда и только тогда, когда поле kне вещественно, а группа конечна; кольцо нетерово тогда и только тогда, когда группа конечна. Если k — не вещественное поле, то тявляется единственным простым идеалом кольца . Если же k — вещественное поле, то множество простых идеалов кольца является дизъюнктным объединением идеала ти семейств простых идеалов, соответствующих упорядочениям рполя k: где lпробегает множество простых чисел, а означает знак элемента а i при упорядочении р. Если k — кольцо с инволюцией, то конструкция, аналогичная конструкции В. к., приводит к понятию группы Витта кольца с инволюцией. С более широкой точки зрения кольцо (группа) Витта является одним из первых примеров K-функторов (см. Алгебраическая К-теория), которые играют важную роль в унитарной алгебраической K-теории. Лит.:[1] Witt Е., "J. reine u. angew. Math.", 1936, Bd 176, S. 31-44; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Ленг С., Алгебра, пер. сангл.,М., 1968; [4] Lorenz F., Quadratische Formen uber Korpern, В. [u. a.], 1970; [5] O' Meara О. Т., Introduction to quadratic forms, В.-Gott.- Hdlb., 1963; [6] Lam T. Y., The algebraic theory of quadratic forms, Massachusets, 1973; [7] Mi1nоr J., Husemоller D., Symmetric bilinear forms, B. [u. a.], 1973. А. В. Михалев, A. ft. Немытое.