Ветвящийся Процесс

Случайный процесс, описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением к.-л. объектов (напр., частиц в физике, молекул в химии, особей к.-л. популяции в биологии и т. п.). Основным математич. предположением, выделяющим класс В. п., является предположение независимости размножения частиц друг от друга. Однородный во времени В. п. m(t) с однотипными частицами определяется как марковский процесс со счетным числом состояний переходные вероятности к-рого удовлетворяют дополнительному условию ветвления: Состояния в В. п. интерпретируются как числа частиц. Вероятность равна вероятности того, что iчастиц за время tпревращаются в jчастиц. Основным аналитич. аппаратом В. п. являются производящие функции Из условия ветвления (1) вытекает равенство В В. п. с дискретным временем (в. п. с д. в.) tпринимает целые неотрицательные значения, и из (3) следует, что есть t-кратная итерация функции . Такой процесс иногда наз. процессом Гальтона — Ватсона. ВВ. п. с непрерывным временем (в. п. с н. в.) предполагается, что , и существует правая производная Из (3) следует, что удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию Если конечны, то математич. ожидание числа частиц (при условии ) равно для в. п. с д. в. и равно для в. п. с н. в. В зависимости от значения параметров Апли а В. п. подразделяются на докритические ( ), критические ( ) и надкритические (). Основным свойством, определяющим эту классификацию, является поведение при . Ниже исключаются из рассмотрения тривиальные случаи когда Вероятность вырождения равна 1 в докритич. и критич. В. п. и меньше 1 в надкритич. В. п. Если то в докритич. В. п. вероятность продолжения процесса при асимптотически ведет себя как , где — положительная константа. В критич. В. п. с конечным при имеет место асимптотика где в в. п. с д. в. и в в. п. с н. в., . Более детальное изучение асимптотич. поведения распределения при показывает, что условный закон распределения при слабо сходится к предельному распределению , если конечны нек-рые моменты . В до-крнтич. В. п. предельный закон дискретен, а в остальных случаях абсолютно непрерывен. Особенно интересен случай критич. В. п., для к-рого предельный закон показательный Распределение (6) является предельным также и для В. п., близких к критическим. Точнее, если рассматривать класс производящих функций или с ограниченной 3-й производной и с то где определяется формулой (5). Явления, возникающие при в В. п., близких к критическим, наз. переходными. Другой моделью В. п. является Беллмана — Хар-риса процесс, в к-ром каждая частица имеет случайное время жизни с функцией распределения G(t) В конце жизни частица оставляет потомство численности и с вероятностью , Времена жизни и численности потомства разных частиц независимы. Пусть в начальный момент t=0была одна частица нулевого возраста. Тогда производящая функция F(t; s )числа частиц в момент t, определяемая формулой (2), удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению где В частном случае, когда G(t) — вырожденная функция распределения, процесс Беллмана — Харриса есть в. п. с д. в.; когда же G(t) — показательная функция распределения, получается в. п. с н. в. В общем случае процесс Беллмана — Харриса — это немарковский В. п. Другое усложнение В. п. связано с зависимостью частиц от положения в пространстве. Пусть, напр., частицы независимо друг от друга совершают броуновское движение в r-мерной области G с поглощающей границей . Частица, находящаяся внутри области G, за время с вероятностью превращается в пчастиц, к-рые начинают независимо друг от друга блуждать по броуновским траекториям из точки их рождения. Пусть равно числу частиц в множестве Ав момент t, если в начальный момент О была одна частица в точке Производящий функционал удовлетворяет квазилинейному параболич. уравнению с начальным условием и граничным условием — оператор Лапласа, а В общем случае В. п. предполагается, что размножающиеся частицы характеризуются к.-л. параметрами, к-рые можно интерпретировать как возраст, положение частицы в пространстве, тип, размер или энергию частицы и т. п. Изучение таких процессов ведется е помощью производящих функций или функционалов, для к-рых выводятся нелинейные -дифференциальные или интегральные уравнения, обобщающие уравнения (4), (7), (8). Можно дать следующее общее описание таких моделей В. п. Пусть в нек-ром фазовом пространстве Xнезависимо друг от друга по закону марковского процесса блуждают частицы. Предполагается, что случайное время жизни частицы есть марковский момент, зависящий от ее траектории. В конце своей жизни частица производит новые частицы, к-рые по к.-л. вероятностному закону распределяются по фазовому пространству X. Новые частицы эволюционируют независимо друг от друга аналогичным образом. В пространстве целочисленных мер, определяемых чис-ленностями частиц в подмножествах X, так построенный В. п. является марковским. Однако В. п. часто рассматриваются в более простых редуцированных пространствах. В этом случае многие из них становятся немарковскими. В большей части приведенных выше моделей сохраняет смысл подразделение процессов на докритические, критические и надкритические В. п. При этом в более сложной обстановке сохраняются многие свойства, установленные для простых В. п., описываемых уравнением (4). В частности, в критич. процессах, как правило, в качестве предельного распределения для (5) (при соответствующей нормировке) возникает показательное распределение (6). В. и. находят применение при расчетах различных реальных биологич., генетич., физич., химич. или технич. процессов. В реальных процессах часто нарушается условие независимости размножения различных частиц и, наоборот, при размножении имеется взаимодействие частиц. Так обстоит дело во многих биологич. процессах размножения, в процессах распространения эпидемий (см. Эпидемии процессы), в бимолекулярных химич. реакциях и т. п. Однако начальные стадии развития таких процессов можно рассчитывать с помощью соответственно подобранных моделей В. п. Это делается в тех случаях, когда в среде имеется не очень много активных частиц, к-рые при малых концентрациях почтц не встречаются друг с другом, а изменения состояния системы происходят при встречах этих активных частиц с частицами среды. В процессах эпидемии, напр., такими "активными частицами" можно считать больных индивидуумов. В генетике с помощью В. п. можно рассчитывать, напр., явления, связанные с мутациями. с конечным числом типов частиц может служить моделью при расчетах цепных реакций; ветвящийся процесс с диффузией частиц — моделью нейтронных процессов в ядерных реакторах. Явления, возникающие в ливнях космич. лучей, также могут изучаться с помощью В. п. В телефонии расчет нек-рых систем с ожиданием сводится к моделям В. п. См. также со случайной средой, с иммиграцией, Ветвящихся процессов регулярность. Лит.:[д] Севастьянов В. А., Ветвящиеся процессы, М., 1971; [2] Athreya К. В., Ney P. E., Branching Processes, В.-Hdlb., N. Y., 1972. Б. А. Севастьянов.