Величина

Величина́

Одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

I. Ещё в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчётливо сформулированы свойства В., называемых теперь, для отличия от дальнейших обобщений, положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие В. является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объёма, массы и т.п. Каждый конкретный род В. связан с определенным способом сравнения физических тел или др. объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приёмы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объёму.

В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных В. (то есть в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объёмов) устанавливается отношение неравенства: две В. а и b одного и того же рода или совпадают (а = b), или первая меньше второй (а < b), или вторая меньше первой (b < a). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объёмов и то, каким образом устанавливается для каждого рода В. смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных В. отношение а < b и операция а + b = с обладают следующими свойствами:

1) каковы бы ни были а и b, имеет место одно и только одно из трёх соотношений: или а = b, или а < b, или b<a.

2) если а<b и b<c, то а<с (транзитивность отношений «меньше», «больше»);

3) для любых двух В. а и b существует однозначно определённая В. с = а+b,

4) а + b = b+ а (коммутативность сложения);

5) а + (b + с) = (а + b) + с (ассоциативность сложения);

6) а+b > а (монотонность сложения);

7) если а > b, то существует одна и только одна В. с, для которой b + с = а (возможность вычитания);

8) каковы бы ни были В. а и натуральное число n, существует такая В. b, что nb = a (возможность деления);

9) каковы бы ни были В. а и b, существует такое натуральное число n, что а < nb. Это свойство называется аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда. На нём вместе с более элементарными свойствами 1—8 основана теория измерения В., развитая древнегреческими математиками.

Если взять какую-либо длину l за единичную, то система s' всех длин, находящихся в рациональном отношении к l, удовлетворяет требованиям 1—9. Существование несоизмеримых (см. Соизмеримые и несоизмеримые величины) отрезков (открытие которых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система s' ещё не охватывает системы s всех вообще длин.

Чтобы получить вполне законченную теорию В., к требованиям 1—9 надо присоединить ещё ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:

10) если последовательности величин a12<... <...< b2<b1 обладают тем свойством, что bn — an< с для любой В. с при достаточно большом номере n, то существует единственная В. х, которая больше всех an и меньше всех bn.

Свойства 1—10 и определяют полностью современное понятие системы положительных скалярных В. Если в такой системе выбрать какую-либо В. l за единицу измерения, то все остальные В. системы однозначно представляются в виде а = al, где а. — положительное действительное число. Подробнее об измерении В. см. ст. Измерение.

II. Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, могущих иметь два противоположных направления, и т.п. В. естественно приводит к тому обобщению понятия скалярной В., которое является основным в механике и физике. Система скалярных В. в этом понимании включает в себя, кроме положительной В., нуль и отрицательную В. Выбирая в такой системе какую-либо положительную величину l за единицу измерения, выражают все остальные В. системы в виде а = αl, где α — действительное число, положительное, отрицательное или равное нулю. Конечно, систему скалярных В. в этом понимании можно охарактеризовать и аксиоматически, не опираясь на понятие числа. Для этого пришлось бы несколько изменить требования 1—10, которыми выше охарактеризовано понятие положительной скалярной В.

III. В более общем смысле слова величинами называют Векторы, Тензоры и др. «не скалярные величины». Такие В. можно складывать, но отношение неравенства (а < b) для них теряет смысл.

IV. В некоторых более отвлечённых математических исследованиях играют известную роль «неархимедовы» В., которые имеют с обычными скалярными В. то общее, что для них сохраняются обычные свойства неравенств, но аксиома 9 не выполняется (для скалярных В. в смысле пункта II она сохраняется с оговоркой, что b > 0).

V. Так как система действительных положительных чисел удовлетворяет перечисленным выше свойствам 1—10, а система всех действительных чисел обладает всеми свойствами скалярных В., то вполне законно сами действительные числа называть величинами. Это особенно принято при рассмотрении переменных В. Если какая-либо конкретная В., например длина l нагреваемого металлического стержня, изменяется во времени, то меняется и измеряющее её число х = l / l0 (при постоянной единице измерения lo). Само это меняющееся во времени число х принято называть переменной В. и говорить, что х принимает в какие-либо последовательные моменты времени t1, t2,...»числовые значения» X1, X2,... В традиционной математической терминологии говорить о «переменных числах» не принято. Однако логичнее такая точка зрения: числа, как и длины, объёмы и т.п., являются частными случаями В. и, как всякие В., могут быть и переменными, и постоянными. Столь же законно и рассмотрение переменных векторов, тензоров и т.п.

По поводу принципиального значения перехода к рассмотрению переменных В. для всего развития математики см. в статье Математика.

Лит.: Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960.

А. Н. Колмогоров.