Векторный Анализ

Раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются векторные поля и скалярные поля. Одним из основных понятий В. а. для изучения скалярных полей является градиент. Скалярное поле и(М).наз. дифференцируемым в точке Мобласти D, если приращение поля в точке Мможет быть представлено в виде: где — вектор, соединяющий точку , — расстояние между точками , а -линейная форма относительно вектора . Линейная форма единственным образом может быть представлена в следующем виде: где — не зависящий от (т. е. выбора точки М') вектор. Вектор наз. градиентом скалярного поля и обозначается символом В случае, когда скалярное поле дифференцируемо в каждой точке век-рой области, является векторным полем. Градиент всегда направлен ортогонально линии (поверхности) уровня скалярного поля ис производной по направлению связан соотношением: Для изучения векторных полей используется понятие дивергенции и ротора. Пусть векторное поле наз. дифференцируемым в точке Мнек-рой области D, т . е. приращение поля в точке Мединственным образом может быть представлено в виде: где — линейный оператор, не зависящий от (от выбора точки ). Дивергенцией div авекторного поля наз. следующий скалярный инвариант линейного оператора : (*) где — взаимные базисы (- символ Кронекера). Если — поле скоростей в установившемся потоке несжимаемой жидкости, то в точке Мозначает интенсивность источника () или стока (), находящихся в точке М, или отсутствие их (). Вихрем (ротором) векторного поля наз. следующий векторный инвариант линейного оператора Аиз (*): где — взаимные базисы. Вихрь векторного поля может быть интерпретирован как векторная "вращательная составляющая" этого поля. Для векторных и скалярных полей класса возможны повторные операции, напр.: где — оператор Лапласа. Градиент, дивергенция и вихрь обычно наз. основными дифференциальными операциями В. а. О свойствах основных дифференциальных операций В. а. и записи в специальных системах координат см. Вихрь, Градиент, Дивергенция. В терминах основных операций В. а. могут быть записаны основные интегральные формулы, связывающие объемные, поверхностные и контурные интегралы. Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в конечной связной области V, граница L — кусочно гладкая. Пусть S — ограниченная, полная, кусочно гладкая двусторонняя поверхность с кусочно гладкой границей . Тогда справедлива Стокса формула: причем нормальный к Sвектор n и касательный к dS вектор должны определять согласованные ориентации поверхности и края . Интеграл наз. циркуляцией векторного поля по кривой . Если циркуляция векторного поля по любой замкнутой кусочно гладкой кривой, расположенной в нек-рой области, равна нулю, то векторное поле наз. потенциальным в этой области. В односвязной области векторное поле потенциальное, если Для потенциального векторного поля существует так наз. скалярный потенциал — функция такая, что при этом где точки — кусочно гладкая кривая, — единичный вектор касательной к — дифференциал дуги. Пусть векторное поле непрерывно и дифференцируемо в конечной связной области V с кусочно гладкой границей , тогда справедлива Остроградского формула: где — вектор внешней нормали к . Интеграл наз. потоком векторного поля через поверхность . Если поток векторного поля через любую замкнутую кусочно гладкую несамо-пересекающуюся ориентированную поверхность, расположенную в V т представляющую собой границу яек-рой ограниченной подобласти области V, равен нулю, то векторное поле наз. соленондальным в области V. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках V. Для соленоидального векторного поля существует так наз. векторный потенциал — функция (М).такая, что Если дивергенция и вихрь векторного поля определены в каждой точке Мобласти D, то всюду в Dвекторное поле может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального полей (теорема Гельмгольца): Векторные поля, для к-рых , , наз. гармоническими. Потенциал гармонич. поля удовлетворяет уравнению Лапласа. Скалярное поле также наз. гармоническим. Лит. см. при статье Векторное исчисление. А. Б. Иванов.