Векторное Алгебраическое Расслоение

Морфизм многообразий , локально (в Зариского топологии).устроенный как проекция прямого произведения на , причем склейка сохраняет послойно структуру векторного пространства. При этом Еназ. пространством расслоения, — базой, а п — рангом (или размерностью) расслоения. Морфизмы В. а. р. определяются так же, как и в топологии. Более общее определение, пригодное для произвольной схемы,-использует понятие пучка. Пусть — локально свободный пучок модулей конечного (постоянного) ранга, тогда аффинный морфизм : , где — пучок симметрических алгебр , наз. векторным расслоением, ассоциированным с Эту терминологию сохраняют иногда и в случае, когда — произвольный квазикогерентный пучок. Пучок однозначно восстанавливается по В. а. р. , и категория В. а. р. на оказывается двойственной к категории локально свободных пучков -модулей. При этом для Х-схемы Yмножество Х-морфизмов биективно соответствует множеству гомоморфизмов -модулей где f — структурный морфизм Х-схемы Y. В частности, пучок ростков сечений В. а. р. отождествляется с двойственным к пучком . В. а. р. наз. тривиальным векторным расслоением ранга п. Множество всех В. а. р. ранга пна схеме находится во взаимно однозначном соответствии с множеством кого-мологий где — пучок автоморфизмов тривиального векторного расслоения ранга п. В. а. р. ранга 1 наз. линейными векторными расслоениями, они соответствуют обратимым пучкам -модулей и тесно связаны с дивизорами на X;множество линейных векторных расслоений с операцией тензорного произведения образует группу (см. Ликара группа). Для В. а. р., как и в топологии, определены операции прямой суммы, тензорного произведения, двойственного расслоения, симметрической и внешней степени, индуцированного В. а. р. и др. Для В. а. р. Еранга плинейное векторное расслоение наз. определителем. С В. а. р. Еможно связать проективное расслоение Р(Е).аналогично тому, как с векторным пространством связано проективное пространство (см. Проективная схема). Примеры нетривиальных В. а. р. дают канонические В. а. р. на Грассмана многообразиях;в частности, на проективном пространстве Р n имеется каноническое линейное расслоение, соответствующее пучку Если В. а. р. Ена схеме Xявляется подрасслоением тривиального В. а. р., то такое вложение определяет морфизм Xв соответствующее многообразие Грассмана, причем относительно этого морфизма индуцируется каноническим В. а. р. на многообразии Грассмана. Линейные расслоения, определяющие вложение Xв Р", наз. очень обильными (см. Обильное еекторное расслоение). Другими примерами В. а. р. являются касательное расслоение Т(X).на гладком многообразии Xи расслоения, построенные из него при помощи различных операций (см. Касательный пучок, Канонический класс, Нормальный пучок). В. а. р. на многообразии, определенном над полем комплексных чисел , можно рассматривать как аналитическое или как топологическое (в топологии комплексного пространства) В. а. р. На полном алгебраич. многообразии категории аналитич. и алгебраич. В. а. р. эквивалентны (см. Сравнения теоремы, в алгебраич. геометрии). Топологич. векторное расслоение не всегда допускает алгебраич. структуру, а если и допускает (как, например, расслоения на Р 2), то, вообще говоря, не единственную. Рассмотрение В. а. р. как топологического позволяет использовать топологические методы, в частности, вводить Чжэня классы В. а. р. Имеется и абстрактное определение классов Чжэня, использующее К-функтор или один из вариантов Вейля когомологий. Свойства В. а. р. зависят от того, является ли его база полной или аффинной схемой. В случае аффинной базы В. а. р. соответствуют проективным модулям конечного типа над кольцом А. Если ранг В. а. р. Ебольше размерности базы X, то Еможно представить в виде где 1 — одномерное тривиальное расслоение. определяется, вообще говоря, не однозначно. Все же, если ранг Ебольше размерности базы и (см. [4]). Если Xнеособая одномерная схема (т. е. А — дедекиндово кольцо), то любое В. а. р. есть прямая сумма тривиального и линейного векторного расслоений. Это же верно для В. а. р. на неособой аффинной поверхности над алгебраически замкнутым полем, бирационально эквивалентной линейчатой поверхности. Случай проективной базы. Изучение линейных расслоений на проективных многообразиях — классич. задача алгебраич. геометрии (см. Ликара группа, Ликара схема). Исследование В. а. р. большего ранга началось в 1957, когда А. Гротендик (A. Grothendieck) показал, что В. а. р. на проективной прямой является прямой суммой линейных расслоений. М. Атья (М. Atiyan) классифицировал В. а. р. на эллиптич. кривой X:если через обозначить множество неразложимых (в прямую сумму) В. а. р. ранга rи степени d(под степенью понимается степень определителя расслоения), то отождествляется с точками самой кривой X([3]). При изучении В. а. р. на кривых полезным оказалось, понятие стабильного В. а. р. Положим для В. а. р. Е, что есть степень Е. деленная на ранг Е;тогда В. а. р. Еназ. стабильным (соответственно полустабильны м), если для любого подрасслоения имеет место (соответственно ). Стабильное расслоение просто (т. е. и, в частности, неразложимо. В. а. р. степени 0 на алгебраич. кривой Xрода стабильно в том и только том случае, когда оно ассоциировано с неприводимым унитарным представлением фундаментальной группы (см. [1]). Пусть — множество всех полустабильных В. а. р. ранга rи степени d, являющихся прямой суммой стабильных В. а. р., — подмножество стабильных В. а. р. Если род gгладкой кривой Xбольше 1, то обладает естественной структурой нормального проективного многообразия размерности — открытое гладкое подмногообразие (см. [1]). Если rи d взаимно простые, то и поэтому гладкое. Пространство модулей полустабильных В. а. р. достаточно изучено, а именно, известно, что — компонента схемы Пикара для X, слои: отображения определителя являются унирациональными многообразиями; если ги dвзаимно просты, то однозначно определяет исходную кривую X. Поскольку над не всегда существует универсальное семейство В. а. р., то не является представляющим объектом подходящего функтора [1]. Большинство указанных результатов получены для случая поля , хотя многие остаются верны и для произвольного алгебраически замкнутого поля. Некоторые специальные факты известны для В. а. р. на алгебраич. поверхностях и проективных пространствах (см. [5]). Лит.:[1] Нарасимхан М., Шешадри К., "Математика", 1969, т. 13, вып. 1, с. 27 — 52; [2] Тюрин А Н., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1966, т. 30, в. 6, с. 1353-66; [3] Atiyah M., "Proc. London Math. Soc.", 1957, v. 7, p. 414- 52; [4] Б асе Х., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973; [5] Долгачев И. В., Псковских В. А., в кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974, с. 77-170. В.