Вейля — Шатле Группа

Группа главных однородных пространств над абелевым многообразием. То, что для любого абелева многообразия Анад полем k множество главных однородных пространств над А, определенных над k, обладает групповой структурой, было доказано А. Вейлем [1], а в одном частном случае — Ф. Шатле (F. Chatelet). Группа изоморфна одномерной группе Галуа когомологий . Группа всегда периодична, кроме того, в случае в ней имеются элементы произвольного порядка (см. [4], [5]). Согласно теореме Ленга если k — конечное поле. Для любого элемента определен показатель , равный наименьшей степени расширения K / k, для к-рого существует K-рацнональная точка D. В случае, когда и k — поле алгебраич. функций над алгебраически замкнутым полем констант или локальное поле, I совпадает с порядком Dв группе (см. [6], [10]). В общем случае эти числа различны, однако всегда делит (см. [7]). Для локальных полей kгруппа вычисляется (см., напр., [6], [8], [9]). Если k — глобальное поле, то основой для вычисления группы являются гомоморфизмы редукции где — произвольное нормирование поля , а — пополнение относительно . Ядро III (A) гомоморфизма наз. группой Тепта — Шафаревича абелевого многообразия .4, вычислено только в случае, когда k — поле алгебраич. функций от одного переменного над алгебраически замкнутым полем констант (см. [5], [8], [11]). В этом же случае описано и коядро (все с точностью до р-компоненты, где р — характеристика k). Результаты этих вычислений применяются в теории эллнптнч. поверхностей. В случае, когда А- — поле алгебраич. чисел, структура группы Ш (А) мало изучена. Лит.- [I] Weil A., "Amer. J. Math.", 1955, v. 77, № 3, р. 4ЯЗ-512. [2]Башмаков М. И., "Успехи матсм. наук", 1972. т. 27, в. 6, с. 25-66: [3]Касселс Д ж., "Математика", (Сб. переводов), 1968, т. 12, № 1, с. 113-60; № 2. с. 3-49. [4] Шафаревич II. Р., "Докл. АН СССР", 1957, т. 114, № 2, с. 267-7(1, [5] его же, там же. 1957, № 4, с. 714- 6; [6 ] его же, "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1961, т. 64, е. 316-46; [7] bang S., Tate J., "Amer. J. Math.", 1958, v. 80, № 3, p. 659-84; [8] Opg A. P., "Ann. Math.", 1962, v. 76, № 2, p. 185-212; [9] Tate J., в кн.: Semin. Bourbaki, 2 ed., P., 1958, t. 10, exposes 156, p. 1 — 13, [l0] Liсhtenbaum S., "Amer. J. Math.", 1968. v. 90, № 4, p. 1209-23; [11] Rоуna1ld M., в кн.: Semin. Bourbaki, 2 ed., P., 1964/65, exposes 286. И. В. Долгачев.