Вейля Проблема

Проблема реализации в трехмерном евклидовом пространстве регулярной метрики положительной кривизны, заданной на сфере; т. е. вопрос о существовании регулярного овалопда, метрика к-рого совпадала бы с заданной. В. п. была поставлена Г. Вейлем (Н. Weyl, 1915; см. [1]). X. Леви (Н. Lewy, 1937; см. [2]) дано решение В. п. в случае аналитич. метрики: заданная на сфере аналитич. метрика положительной кривизны всегда реализуется на нек-рой аналитпч. поверхности трехмерного евклидова пространства. Теорема А. Д. Александрова о реализации метрики положительной кривизны выпуклой поверхностью в соединении с теоремой А. В. Пого-релова о регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой дают полное решение В. п. (см. [3], с. 121). А именно, регулярная метрика класса с положительной гауссовой кривизной, заданная на многообразии, гомеоморфном сфере, реализуется замкнутой регулярной выпуклой поверхностью по крайней мере класса Если метрика аналитическая, то поверхность аналитическая. В. п. для случая общего трехмерного риманова пространства поставлена и решена А. В. Погореловым ([3], гл. 6). Лит.:[1] Вейль Г., Успехи матем. наук, 1948, т. 3, в. 2, с. 159-90; [2] Леви Г., там же, с. 191-219; [3] Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969, гл. 5-7. Е. В. Шикин.