Вариационное Исчисление

Раздел мате-.матики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного рода ограничениях (фазовых, дифференциальных, интегральных И т. п.), накладываемых на эти функции. Этими рамками обозначен класс задач, наз. еще задачами классического В. и. Иногда в термин "В. и." вкладывают более широкий смысл, понимая под ним тот раздел теории экстремальных задач, где исследование экстремумов проводят "методом вариаций" (см. Вариация), т. е. методом малого возмущения аргументов и функционалов; задачи, относящиеся к В. и. в этом широком смысле, противопоставляются дискретным задачам оптимизации. Весьма широкий круг задач классич. В. и. описывает следующая схема. Требуется минимизировать функционал при ограничениях типа равенств: и некоторых краевых условиях: Задачи такого типа наз. Лагранжа задачами. Кроме задач Лагранжа, рассматривают еще Майера задачи, Больца задачи и ряд других. Наиболее элементарной среди задач класспч. В. и. является простейшая задача В. и., когда в (1) tи ходномерны, ограничения (2) отсутствуют, а граничные условия закрепленные: К этому типу относится задача о брахистохроне или о кривой наикратчайшего спуска. С задачей о брахистохроне обычно связывают начало истории классич. В. и. Теоретич. основы классич. В. и. были заложены Л. Эйлером (L. Euler) и Ж. Лагранжем (J. Lagrange) в 18 в. Ими же были вскрыты важнейшие связи этой дисциплины с механикой и физикой. На первом же этапе развития В. и. усилиями в основном Г. Лейбница (G. Leibniz), Я. и И. Бернуллл (Jacob et Johann Bernoulli), Л. Эйлера и Ж. Лагранжа получили решение многие конкретные задачи (о геодезических, о поверхности вращения, ряд изопериметрич. задач и т. п.). В В. и. изучаются алгоритмич. методы отыскания экстремумов, методы получения необходимых и достаточных условий, условия, гарантирующие существование экстремума, качественные вопросы и т. п. Среди алгоритмич. методов нахождения экстремумов важнейшее место занимают прямые методы. Прямые методы. Л. Эйлер (1768) создал метод приближенного (численного) решения задач В. и., к-рый получил назв. метода ломаных Эйлера. С этого момента начались исследования путей численного решения экстремальных задач. Метод Эйлера был первым представителем большого класса методов, наз. прямыми методами В. и. Эти методы основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала к задаче ма-тематич. анализа об отыскании экстремума функции многих переменных. Метод ломаных Эйлера в применении к задаче (3) состоит в следующем. Интервал разбивается на Л' равных частей точками Значения функции в этих точках обозначены соответственно. Каждая совокупность точек определяет нек-рую ломаную. Ставится задача: среди всех возможных ломаных, соединяющих точки найти ту, к-рая доставляет функционалу (1) экстремальное значение. Значение производной на отрезке будет: . Функционал превращается в функцию конечного числа переменных : и задача (3) сводится к задаче отыскания экстремума функции . Для того чтобы ломаная Эйлера, реализующая экстремум этой функции, аппроксимировала решение задачи (3) с высокой точностью, число N должно быть, вообще говоря, достаточно велико. При этом объем вычислений для отыскания экстремума функции (3) столь велик, что проведение вычислений "вручную" весьма сложно. Поэтому долгое время прямые методы были в стороне от основных исследований но В. и. В 20 в. интерес к прямым методам значительно возрос. Прежде всего были предложены новые способы редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа переменных. Эти идеи могут быть пояснены на примере минимизации функционала (3) при условии Пусть разыскивается решение задачи в форме где — некоторая система функций, удовлетворяющих условиям . Тогда функционал становится функцией коэффициентов и задача сводится к отысканию экстремума этой функции N переменных. При нек-рых условиях, наложенных на систему функций , решение задачи стремится при к решению задачи (3) (см. Галеркина метод). Метод вариаций. Второе направление исследований- изучение необходимых и достаточных условий, к-рым должна удовлетворять функция , реализующая экстремум функционала . Основным методом получения необходимых условий является метод вариаций. Пусть тем или иным способом построена нек-рая функция . Как проверить, является ли эта функция решением вариационной задачи (3)? Первый вариант ответа на этот вопрос был дан Л. Эйлером (1744). В приведенной ниже формулировке ответа употребляется введенное Ж. Лагранжем (1762) понятие вариации (отсюда назв. "В. и.") функционала (см. Вариация, Вариация функционала). Для простейшей задачи В. и.: где — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условиям . Условие является необходимым, для того чтобы функция реализовала экстремум функционала (3). Отсюда и из выражения для вариации следует: для того чтобы функция доставляла экстремум функционалу (3), необходимо, чтобы она удовлетворяла следующему дифференциальному уравнению 2-го порядка относительно функции : (4) Это уравнение наз. Эйлера уравнением, а интегральные кривые этого семейства — экстремалями рассматриваемой вариационной задачи. Функция , на к-рой достигает экстремума, необходимо должна быть решением краевой задачи для уравнения (4). Таким образом, возникает второй путь решения экстремальной задачи: надо решить краевую задачу для уравнения Эйлера (в регулярных случаях при этом получится лишь конечное число решений), л далее надо каждую из полученных экстремалей подвергнуть дополнительному исследованию, чтобы определить, имеется ли среди них кривая, дающая решения задачи. Однако указанный метод обладает тем существенным недостатком, что не имеется универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных (нелинейных) дифференциальных уравнений. Весьма часто встречаются вариационные задачи с подвижными концами. Напр., в простейшей задаче точки и могут перемещаться вдоль заданных .кривых. Для задач с подвижными концами из условия выводятся дополнительные условия, к-рым должны удовлетворять подвижные концы,- так наз. трансверсальности условия, к-рые в совокупности с граничными условиями приводят к замкнутой системе условий для краевой задачи. Основные результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., переносятся на общий случай функционалов вида где — вектор-функция произвольной размерности (см. [3]). Задача Лагранжа. Л. Эйлер и Ж. Лагранж изучали и задачи на условный экстремум. Простейшим классом задач подобного рода является класс так наз. изопериметрических задач. Ж. Лаграшк выделил (в случае, когда tодномерно) класс задач (1), (2) и получил для них аналог уравнения Эйлера с привлечением так наз. множителей Лагранжа. Такой аналог получается и для самого общего случая — задачи (1), (2). Особое значение задача Лагранжа приобрела в середине 20 в. в связи с созданием оптимального управления математической теории. Далее основные результаты, касающиеся задачи Лагранжа, даются на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягина и его учеников. Рассмотрим тот случай, когда в задаче (1), (2) tодномерно и система может быть частично разрешена относительно последних переменных. Тогда получается задача о минимизации функционала при дифференциальной связи и граничных условиях: В (5) — (7) — вектор-функция, наз. фазовым вектором, — вектор-функция, наз. управлением, Примером граничных условий типа (7) могут служить закрепленные условия как в задаче (3). В задачах оптимального управления помимо условий (6) и (7) накладывают еще и "неклассическне" условия, напр. Слабый и сильный экстремумы. В В. и. обычно различают две топологии — сильную и слабую, и в соответствии с этим оперируют понятиями сильного и слабого экстремумов. Напр., в применении к задаче (3) говорят, что кривая реализует слабый минимум, если можно указать такое , что для всех непрерывно дифференцируемых функций , удовлетворяющих условиям: и Иными словами, здесь фиксируется близость не только фазовых переменных, но и скоростей (управлений). Говорят, что функция доставляет сильный экстремум, если можно указать такое , что для всех допустимых абсолютно непрерывных функций . (для к-рых существует), удовлетворяющих условиям и Здесь фиксируется лишь близость фазовых переменных. Если реализует сильный экстремум, то эта функция реализует тем более и слабый экстремум, поэтому достаточные условия сильного экстремума являются достаточными условиями и слабого. С другой стороны, из отсутствия слабого экстремума следует отсутствие сильного экстремума, т. е. необходимые условия слабого экстремума являются необходимыми условиями сильного экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума. Уравнение Эйлера, о к-ром рассказывалось выше, представляет собой необходимое условие слабого экстремума. В конце 50-х гг. 20 в. Л. С. Понтрягиным был выдвинут принцип максимума для задач (5) — (8), являющийся необходимым условием сильного экстремума. Принцип максимума гласит:, если пара ( х, и).доставляет сильный экстремум в задаче (5) — (8), то найдутся вектор-функция и число такие, что для функции Гамильтона выполняются следующие соотношения: Если приложить принцип максимума Понтрягина к задаче (3), то получится, что для того чтобы кривая x(t)доставляла сильный минимум в задаче (3), необходимо, чтобы она была экстремалью (т. е. удовлетворяла уравнению Эйлера (4)) и, кроме того, чтобы выполнялось необходимое условие Вейерштрасса: — так наз. -функция Вейерштрасса. Помимо условий типа (4) и (10), носящих локальный характер (т. е. проверяемых в каждой точке экстремали), имеется необходимое условие глобального характера, связанное с поведением множества экстремалей, близких к заданной экстремали (см. Якобы условие). Для задачи (3) условие Якоби состоит в следующем. Для того чтобы экстремаль x(t) доставляла минимум в задаче (3), необходимо, чтобы решение уравнения ( Якоби уравнения) с краевыми условиями не имело бы нулей в интервале . Нули решения уравнения (11) наз. точками, сопряженными с точкой . Таким образом, условие Якоби заключается в том, что интервал не должен содержать точек, сопряженных с . Необходимые условия слабого минимума , являются точными аналогами условий минимума для функций одного переменного. Условие Якоби при выполнении Лежандра условия (усиленного) является необходимым условием неотрицательности второй вариации. Это приводит к следующему результату: для того чтобы функция x(t).реализовывала слабый минимум функционала (3), необходимо, чтобы: а) функция удовлетворяла уравнению Эйлера, б) выполнялось условие Лежандра в) интервал не содержал точек, сопряженных с точкой t0 (при условии, что выполняется усиленное условие Лежандра). Достаточные условия слабого минимума таковы: функция x(t).должна быть экстремалью, на ней выполняется усиленное условие Лежандра и полуинтервал не содержит точек, сопряженных с точкой t0 . Для того чтобы кривая доставляла сильный минимум, достаточно, чтобы, помимо сформулированных достаточных условий слабого минимума, выполнялось Вейерштрасса условие достаточное. Задачи оптимального управления. Одним из основных направлений развития В. и. являются неклассич. задачи В. и., подобные сформулированной выше задаче (5) — (8). Задачи, укладывающиеся в эту схему, имеют огромное прикладное значение. Пусть, напр., уравнение (6) описывает движение нек-рого динамич. объекта, напр, космич. корабля. Управление — вектор и — тяга его двигателя. Начальное положение корабля — это нек-рая орбита, конечное положение — это орбита другого радиуса. Функционал J описывает расход горючего на выполнение маневра. Тогда задачу (5) — (7) можно применительно к данной ситуации сформулировать следующим образом: определить закон изменения тяги двигателя космич. аппарата, совершающего переход с одной орбиты на другую за фиксированное время так, чтобы расход топлива был минимальным. При этом необходимо учитывать ограничения на управления: тяга двигателя не может превосходить нек-рой величины и угол поворота тяги также ограничен. Таким образом, в данном примере получается, что компоненты вектора тяги подчинены ограничениям где и — нек-рые заданные числа. Имеется большое число задач, к-рые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнительном ограничении типа (8). Такие задачи получили назв. задач оптимального управления. Для теории оптимального управления должен был быть разработан специальный аппарат. Им и явился принцип максимума Понтрягина. Возможен и другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть — значение функционала (5) вдоль оптимального решения от точки до точки . Тогда для того чтобы функция и(t).была оптимальным управлением, необходимо (а в нек-рых случаях и достаточно), чтобы удовлетворялось следующее дифференциальное уравнение с частными производными наз. уравнением Беллмана (см. Динамическое программирование). Для задач класснч. В. и. S-функция (или функция действия) должна удовлетворять уравнению Гамильтона-Якоби: где H — Гамильтона функция. Для задачи (3) функция есть Лежандра преобразование по хинтегранта Теория Гамильтона — Якоби является мощным инструментом исследования многих важнейших задач вариационного типа, связанных с классич. механикой. Связь В. и. с задачами теории уравнений с частными производными была обнаружена уже в 19 в. П. Дирихле (P. Dirichlet) показал, что решение краевых задач для уравнения Лапласа эквивалентно решению нек-рой вариационной задачи. Пусть, напр., имеется нек-рое линейное операторное уравнение где — нек-рая функция двух независимых переменных, обращающаяся в нуль на замкнутой кривой Г. В предположениях, естественных для нек-рого класса задач физики, задача отыскания решения уравнения (8) эквивалентна отысканию минимума функционала где — область, ограниченная кривой Г. Уравнение (12) в этом случае является уравнением Эйлера для функционала (13). Редукция задачи (12) к (13) возможна, напр., если А — самосопряженный и положительно определенный оператор. Связь между проблемами для уравнений с частными производными и вариационными задачами позволяет, в частности, устанавливать справедливость различных теорем существования и единственности; она сыграла важную роль в кристаллизации понятия обобщенного решения. Эта редукция очень важна и для вычислительной математики, поскольку она позволяет использовать прямые методы В. п. для решения краевых задач теории уравнений с частными производными. Качественные методы исследования задач В. и. дают возможность ответить на вопросы о существовании решений, об их числе, о качественных особенностях экстремалей и их семейств. В 20 в. была установлена зависимость числа решений вариационных задач от свойств пространства, на к-ром определен функционал. Так, напр., если функционал J задан на всевозможных гладких кривых тора (на торе), соединяющих две фиксированные точки, или если функционал J задан на всевозможных замкнутых кривых поверхности, топологически эквивалентной тору, то в обоих случаях число критич. элементов — линий, на к-рых вариация , бесконечно. Л. А. Люстерник и Л. Г. Шнирельман (7) доказали, что на каждой поверхности, топологически эквивалентной сфере, существует по крайней мере три самопересекающиеся замкнутые геодезические различной длины; если же длины хотя бы двух из этих геодезических совпадают, то существует бесконечное множество замкнутых геодезических равной длины. Проблемы подобного рода указывают на тесную связь В. и. с качественной теорией дифференциальных уравнений и топологией. При исследовании качественных методов сыграло большую роль развитие функционального анализа. См. также в целом. Связь В. и. с теорией конусов. Круг вопросов, к-рыми занимается В. и., непрерывно расширяется. В частности, все большее и большее внимание уделяется Хизучению функционалов весьма общего вида, задаваемых на множествах элементов нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно ввести понятие вариации. Потребовалось привлечение нового аппарата исследования. Таким аппаратам оказалась теория конусов в банаховых пространствах. Напр., пусть поставлена задача о минимуме f(x), где х- элемент замкнутого множества G. Конусом наз. множество ненулевых векторов е, каждому из к-рых можно поставить в соответствие положительное число таким образом, чтобы вектор для любого . Конусом наз. множество ненулевых векторов е, каждому из к-рых можно поставить в соответствие положительное таким образом, чтобы для любого . Для того чтобы х 0 реализовал минимум функции , необходимо, чтобы пересечение конусов и было пустым. Это условие столь же элементарно, как и условие обращения в нуль вариации, однако из него вытекают не только те результаты, к-рые можно получить классич. методами В. и.; оно позволяет подойти к проблемам гораздо более сложным, напр, к исследованию экстремальных значений недифференцируемых функционалов (см. [6]). Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [2] Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950; [3] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [4] Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, М., 1957; [5] Понтрягин Л. С. (и дрт), Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969; [6J Пшеничный Б. Н., Необходимые условия экстремума, М., 1969; [7] Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г., Топологические методы в вариационных задачах, М., 1930. Н. Н. Моисеев.