Вариация Отображения

Числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами. Определена С. Банахом [1]. Ниже дается определение лишь для двумерного случая. Рассмотрим отображение где и -непрерывные на квадрате X функции. Говорят, что отображение имеет ограниченную вариацию, если существует число такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов со сторонами, параллельными осям координат справедливо неравенство где обозначает образ множества при отображении , а — плоскую меру Лебега множества Е. При этом численное значение В. о. может быть определено различными способами. Напр., пусть отображение имеет ограниченную вариацию. Тогда вариация может быть определена по формуле где — число решений системы (индикатриса Банаха отображения ), Если отображение имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на существует обобщенный якобиан , к-рый интегрируем на . При этом. где — квадрат, содержащий точку , стороны к-рого параллельны осям (см. [2]). Лит.: [1] Ваnасh S., "Fundara. math.", 1925, t.7, p. 225- 36; [2] Кудрявцев Л. Д., в сб.; Метрические вопросы теории функций и отображений, в. 1, К., 1969, с. 34-108. Б. И. Голубое.