Вариация Множества

Число, характеризующее k-мерную протяженность множества в n-мерном евклидовом пространстве. Нулевая вариация замкнутого ограниченного множества Еесть число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости линейная вариация множества (то есть В. м. порядка 1) есть интеграл , от функции где интегрирование ведется по прямой , проходящей через начало координат,- угол наклона к фиксированной оси и — прямая, перпендикулярная к и пересекающая ее. в точке . Нормирующая константа свыбирается так, чтобы вариация отрезка Есовпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, напр, спрямляемых кривых, В. м. равна длине кривой. Для замкнутой области Есо спрямляемой границей Г линейная В. м. равна половине длины Г. Вторая В. м. (то есть В. м. порядка 2) есть двумерная мера множества и при . Для я-мерного евклидова пространства вариацией порядка ограниченного замкнутого множества наз. интеграл от нулевой вариации пересечения с -мерной плоскостью по пространству всех -мерных плоскостей из , с Хаара мерой, нормированной так, чтобы единичный k-мерный куб имел В. м. В. м. совпадает с re-мерной мерой Лебега множества Е. Для выпуклых тел В. м. при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского (см. [4]). Свойства В. м. 1) Для В. м. не зависит от того, вычисляется она для или для 2) В. м. выражаются индуктивно по формуле где — нормирующая константа. 3) Условие влечет 4) В. м. (в известном смысле) не зависят друг от друга, т. е. для любой последовательности чисел где — целое, можно построить множество , для к-рого 5) если и не пересекаются. В общем случае Для В. м. не монотонны, т. е. может оказаться, что для . 6) В. м. полунепрерывны, т. е. если последовательность замкнутых ограниченных множеств сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству , то а если, к тому же, равномерно ограничены суммы то 7) В. м. совпадаете k-мерной Хаусдорфа мерой множества Е, если , а . Эти условия выполняются, напр., для дважды гладких многообразий. Понятие В. м. возникло в связи с исследованием решений системы Коши — Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. В. м. оказалась полезным аппаратом при решении нек-рых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных (см. [1]), а также в вопросах аппроксимации (см. [2]). Лит.:[1] Витушкин А. Г., О многомерных вариациях, М., 1955; [2] его же, Оценка сложности задачи табулирования, М., 1959; [31 его же, "Докл. АН СССР", 1966, т. 166, К5, с. 1022-25; [4] Леонтович А. М., Мельников М. С., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1965, т. 14, с. 306-37; [5] Иванов Л. Д., "Матем. сб.", 1967, т. 72(114), № 3, с. 445-70; [6] его же, там же, 1969, т. 78(120), №1, с. 85-100. А. Г. Витушкин, Л. Д. Иванов.