Узлов Кобордизм

(правильнее бордизм узлов, см. Бордизм) — отношение эквивалентности на множестве узлов, более слабое, чем изотопич. тип. Два гладких n-мерных узла и наз. кобордантными, если существует гладкое ориентированное (n+1)-мерное подмногообразие V многообразия причем V гомеоморфно и Здесь знак минус означает обращение ориентации. Узлы, кобордантные тривиальному узлу, наз. кобордантными нулю или срезанными узлами. Множество классов эквивалентности (кобордантности) n-мерных гладких узлов обозначается С n. Операция несвязной суммы определяет во множестве С п структуру абелевой группы. Обратным для класса У. к. (Sn+3, kn )служит класс У. к. (-Sk+2, — kn). При всех четных пгруппа СД равна нулю. Класс У. к. нечетномерного узла определяется его Зейферта матрицей. Квадратная целочисленная матрица Аназывается кобордантной нулю, если она унимодулярно конгруэнтна матрице вида где N1, N2, N3 — квадратные матрицы одинакового размера, а 0 — нулевая матрица. Две квадратные матрицы А 1 и А 2 наз. кобордантными, если матрица кобордантна нулю. Квадратная целочисленная матрица Аназ. -матрицей, где или -1, если Матрица Зейферта всякого (2q-1)-мерного узла является (- 1)q -матрицей. Для всякого e отношение кобордантности является отношением эквивалентности на множестве всех -матриц. Множество классов эквивалентности обозначается через Операция прямой суммы определяет в структуру абелевой группы. Имеется гомоморфизм Левина: к-рый сопоставляет классу У. к. Ккласс кобордизмов матрицы Зейферта узла К. Гомоморфизм Левина является изоморфизмом при всех Гомоморфизм j2:С 3-> является мономорфизмом, и его образ является подгруппой индекса 2 в G+ , состоящей из классов (+1)-матриц А, для к-рых сигнатура матрицы A+A' делится на 16. Гомоморфизм является эпиморфизмом; его ядро нетривиально. Для изучения строения групп G+ и G- и построения полной системы инвариантов класса У. к. используется следующая конструкция. Изометрической структурой над полем Fназ. пара (<, >; Т),состоящая из невырожденной квадратичной формы <, >, заданной на конечномерном векторном пространстве Vнад полем F, и ее изометрии Изомотрич. структура (<, >; Т)наз. кобордантной нулю, если V содержит вполне изотропное инвариантное относительно . подпространство половинной размерности. Операции ортогональной суммы форм и прямой суммы изометрий определяют во множестве изометрич. структур операцию Две изометрич. структуры и наз. кобордантными, если изометрич. структура кобордантна нулю. Пусть GF — множество классов кобордизмов изометрических структур удовлетворяющих условию где — характеристич. многочлен изометрий Т. В изучении групп G+ и G- важную роль играют вложения и к-рые строятся следующим образом. Каждый класс кобордизмов -матриц содержит невырожденную матрицу. Если А — невырожденная e-матрица, то пусть Q=A+A' и — изометрич. структура, в к-рой форма задается матрицей Q, а изометрня Т — матрицей В. Это сопоставление корректно определяет гомоморфизмы и Пусть — изометрич. структура на векторном пространстве Vи Пусть обозначает -примерную компоненту пространства V, т. е. для большего N. Многочлен наз. возвратным, если ai=ak-i при всех i. Для каждого неприводимого возвратного многочлена через обозначается приведенный по mod 2 показатель, с к-рым входит в характеристич. многочлен изометрий Т. Для каждого возвратного неприводимого в многочлена обозначается через сигнатура сужения формы на Для каждого простого числа ри возвратного неприводимого в многочлена пусть сужение формы на где — поле р-адических чисел. Пусть где (,) — символ Гильберта в — символ Хассе, 2r — ранг Две изометрич. структуры кобордантны тогда и только тогда, когда для всех и р, для к-рых эти инварианты определены (см. [3], [4]). Композиция гомоморфизма Левина, гомоморфизма и функций сопоставляет каждому нечетномерному узлу Кчисла Два (2q-1)-мерных узла К 1 и K2, где q>1, кобордантны тогда и только тогда, когда для всех и р, для к-рых эти инварианты определены равна сигнатуре узла K (см. Узлов и зацеплений квадратичные формы). где сумма берется по всем вида где и в этой сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля. Аналогичным образом определяются группы кобордизмов локально плоских и кусочно линейных, к-рые обозначаются и соответственно. При всех пимеется изоморфизм Естественное отображение является изоморфизмом при а при п=3 оно является мономорфизмом с образом индекса 2. Это, в частности, означает существование несглаживаемых локально плоских топологических трехмерных узлов в S5 (см. [5]). Теория У. к. связана с изучением особенностей не локально плоских и кусочно линейных вложений коразмерности 2. Если . есть (n+1)-мерное ориентированное многообразие, вложенное как подкомплекс в (n+3)-мерное многообразие М, и N — малая звездная окрестность хв М, то особенность вложения Рв Мв точке хизмеряется следующим образом. Край является (n+2)-мерной сферой, ориентация к-рой определяется ориентацией М; является п-мерной сферой, ориентация к-рой определяется ориентацией Р. Таким образом, возникает n-мерный узел к-рый наз. особенностью вложения в точке х. Лит.:[1] Fох R. H., Мilnоr J. W., лOsaka J. Math.