Условное Математическое Ожидание

Случайной величины-функция элементарного события, характеризующая случайную величину по отношению к нек-рой -алгебре. Пусть -вероятностное пространство, Х — заданная на нем случайная величина с конечным математич. ожиданием, есть -алгебра, У. м. о. случайной величины Xотносительно -алгебры наз. случайная величина измеримая относительно -алгебры и такая, что для каждого Если математич. ожидание случайной величины Xбесконечно (но определено), т. е. конечна только одна из величин и то определение У. м. о. посредством (*) имеет смысл, но может принимать бесконечные значения. У. м. о. определяется однозначно с точностью до эквивалентности. В отличие от математического ожидания, являющегося числом, У. м. о. представляет собой функцию (случайную величину). Свойства У. м. о. аналогичны свойствам математич. ожидания: 1) если почти наверное 2) для любого действительного с; 3) для любых действительных и 4) 5) для выпуклых функций g(x). Кроме того, имеют место следующие специфические для У. м. о. свойства: 6) если -тривиальная -алгебра, то 7) 8) 9) если Xне зависит от -алгебры то 10) если Yизмерима относительно -алгебры то Имеет место теорема о сходимости под знаком У. м. о.: если X1, Х2, ... — последовательность случайных величин, п=1, 2, .... и почти наверное, то почти наверное У. м. о. случайной величины Xотносительно случайной величины Yопределяется как У. м. о. Xотносительно -алгебры, порожденной У. Частным случаем У. м. о. является условная вероятность. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [3] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; [4] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962. Н. Г. Ушаков.