Уолла Инвариант

Элемент из Уолла группы, являющийся препятствием к перестройке бордизма до простой гомотонич. эквивалентности. Пусть X — конечный Пуанкаре комплекс, v — расслоение над Xи — нек-рый класс, где т — формальная размерность Xи имеет степень 1. Отображение всегда можно перестроить до -связного отображения. Пусть — групповое кольцо, и — — инволюция в нем: задаваемая по формуле где определяется первым Штифеля — Уитни классом расслоения v. Пусть (коэффициенты в кольце — Инволюция является антиизоморфизмом и определены группы Уолла Пусть теперь Тогда в стабильно свободном -модуле выделен базис, и Пуанкаре двойственность индуцирует простой изоморфизм причем является (-1)k -формой. Поэтому получается класс Пусть теперь Можно выбрать образующие в так, что они представляются вложениями образы к-рых не пересекаются, и эти образы соединены путями с отмеченной точкой. Пусть Поскольку то можно заменить гомотопным отображением и считать, что Так как X — комплекс Пуанкаре, то можно заменить Xкомплексом с единственной m-клеткой, т. е. имеется пара Пуанкаре (Х 0, Sm+1 )и Выбором подходящей клеточной аппроксимации получается отображение для триад Пуанкаре степени Следовательно, имеется диаграмма из точных последовательностей (см. рис.): При этом имеется невырожденное спаривание причем — квадратичная (-1)k-форма, а и определяют ее лагранжевы плоскости L и Р. Тогда Определенные выше элементы и наз. инвариантами Уолла. Важным их свойством является независимость от произвола конструкции и то, что равенство равносильно представимости класса простой гомотопич. эквивалентностью, см. [1]. Лит.:[1] Wаll С., Surgery on compact manifolds, L.- N. Y., 1970; [2] Raniсki A., лProc. Lond. Math. Soc.