Универсальная Алгебра

Алгебраическая система с пустым множеством отношений. У. а. часто называют просто алгеброй. Для У. а. справедлива теорема о гомоморфизме: если — гомоморфизм У. а. A на У. а. В и — ядерная конгрузнция гомоморфизма то Визоморфна факторалгебре Всякая У. а. разлагается в подпрямое произведение подпрямо неразложимых У. а. Если к основным операциям алгебры . присоединить все производные операции, то возникает У. а. большей сигнатуры. Равенство возможно и при что приводит к понятию рациональной эквивалентности У. а. (см. Универсальных алгебр многообразие). Скаждой У. а. Асвязаны сопутств ующие структуры: моноид всех эндоморфизмов End A, группа всех автоморфизмов Aut A, решетки всех подалгебр Sub Аи всех конгруэнции Con A . Для любых группы G и алгебраических решеток U и Ссуществует такая У. а. А, что (см. [12]). Однако при замене Aut Ана End Ааналогичный результат не имеет места. Такого рода задачи наз. абстрактными задачами реализации. Пример решения конкретной задачи реализации; система подмножеств . множества Асовпадает с Sub Адля нек-рой У. а. с носителем Атогда и только тогда, когда Uзамкнута относительно объединения направленных подсистем и произвольных пересечений [11]. Как абстрактную, так и конкретную задачи реализации можно решать и для заданного класса У. а. Исследовались У. а. с теми или иными ограничениями на сопутствующие структуры. Напр., У. а. с дистрибутивной или дедекиндовой решеткой конгруэнции, с двуэлементной решеткой конгруэнции (конгруэнц-простые У. а.), с одноэлементной или двуэлементной решеткой подалгебр (простые У. а.), с коммутативным моноидом эндоморфизмов, с одноэлементной группой автоморфизмов (жесткие У. а.) и т. п. У. а. с перестановочными конгруэнциями изоморфна прямому произведению конечного числа конгруэнц-простых алгебр тогда и только тогда, когда решетка ее конгруэнции удовлетворяет условию максимальности, а точная верхняя грань ее минимальных конгруэнции равна наибольшей конгруэнции. У. а. с дистрибутивной решеткой конгруэнции и перестановочными конгруэнциями (арифметические У. а.) допускают представление в виде глобального сечения подходящих пучков. Исследовалось, насколько У. а. определяется той или иной из своих сопутствующих структур. Впрочем, большинство результатов такого рода касается конкретных классов У. а. ([9] — [12], [15]). У. а. наз. функционально полной, если всякая операция на ее носителе принадлежит клону, порожденному ее основными операциями и константами. Если отказаться от включения констант, то получается определение примальной (или строго функционально полной) У. а. Принадлежность к вышеупомянутому клону всех операций, сохраняемых конгруэнциями, определяет аффиннополную У. а. Всякая функционально полная У. а. конечна. Поэтому требование конечности часто включают в определение перечисленных классов У. а. (см. [9], [13], [14]). Формирование теории У. а. началось в 30-40-х гг. 20 в., когда были сформулированы основные определения, охарактеризованы многообразия универсальных алгебр и доказана теорема о подпрямых разложениях (см. [7], [8]). Предыстория теории У. а. восходит к прошлому столетию. Активные исследования в этой области начались в кон. 40-х гг., а в СССР — в нач. 50-х гг. (А. Г. Курош, А. И. Мальцев и их ученики). Привлечение методов математич. логики привело к рассмотрению алгебраических систем. Термин лУ. а.