Уайтхеда Кручение

Элемент Уайтхеда группы построенный по комплексу А-модулей. В частности, получается У. к. отображения комплексов. Пусть А — кольцо, F- конечнопорожденный А-модуль. Пусть b=(bl, . . ., bk) и c=(c1, . . ., ck)- два его базиса, и Тогда матрицa невырождена и, следовательно, определяет элeмент группы обозначаемый [ с/b]. Если [ с/b]=0, то базисы bи сназ. эквивалентными. Очевидно, Для произвольной точной последовательности свободных А-модулей и базисов ки gв Еи . определен базис eg=(e, f )в F, причем образом элементов f является базис g. Класс эквивалентности этого базиса зависит только от базисов е и g. Пусть теперь — комплекс из свободных A-модулей С i с отмеченными базисами е i, гомологии этого комплекса свободны и в них также выбраны базисы hi. Пусть образы гомоморфизмов также свободны. Комбинации базисов задают новые базисы в С i. Тогда кручение комплекса . определяется формулой При этом кручение не зависит от базисов bi в группах границ, а только от с i и hi. Пусть дана пара (K, L), состоящая из конечного связного клеточного разбиения Ки подкомплекса L, являющегося деформационным ретрактом К. Пусть Если и — универсальные накрывающие разбиений Ки L, то определяет клеточное отображение а следовательно, и отображение групп цепей т. е. является -модулем. Получается свободный цепной комплекс над Гомологии этого комплекса тривиальны, т. е. — деформационный рет-ракт Пусть суть р-клетки в Для каждой клетки ei выбирается клетка-представитель в лежащая над е i, и фиксируется ее ориентация. Тогда — базис в Следовательно, определено подмножество т. к. кручение, вообще говоря, зависит от выбора Оазиса с р. Однако уже образ этого множества в группе Уайтхеда Wh (П) состоит из одного элемента и наз. кручением Уайтхеда пары ( К, L). Важным свойством У. к. является его комбинаторная инвариантность. Является ли топологич. инвариантом, неизвестно (1984). Пусть — гомотопич. эквивалентность (Xи Y- клеточные комплексы). Тогда кручение отображения / определяется как где М f — цилиндр отображения f. Если то f наз. простой гомотопической эквивалентностью. Свойства кручения 1) если — включение, то 2) 3) если f гомотопно f', то если f — тождественное отображение односвязного комплекса с эйлеровой характеристикой то Лит.:[1] Whitehead J. H. C., лAmer. J. Math.