Турбулентности Математические Задачи

Вывод, анализ и решение уравнений, описывающих турбулентные течения жидкостей и газов (т. е. такие завихренные течения, термодинамич. и гидродинамич. характеристики к-рых испытывают хаотич. флуктуации из-за наличия многочисленных вихрей различных размеров и потому изменяются в пространстве и времени весьма нерегулярно). Индивидуальные реализации турбулентных течений описываются обычными уравнениями гидромеханики вязкой жидкости. Единственность решения задачи Коши для них не доказана (доказательство удается лишь для двумерных течений и при специальных предположениях об изменчивости кинематич. вязкости v). Стационарные решения, отвечающие ламинарным течениям, формально существуют при любых числах Рейнольдса Re= ULlv (Lи U — масштабы длины и скорости), но при Re>Re кp они неустойчивы. Гидродинамич. неустойчивость относительно малых возмущений поля скорости вида исследуется как задача о собственных значениях соответствующего линеаризованного уравнения для а(х)(т. н. Орра — Зоммерфелъда уравнение). При значениях числа Рейнольдса Re в нек-рой окрестности Re кp в фазовом пространстве течения существует однопараметрич. семейство замкнутых траекторий. Если оно появляется лишь при Re>Re кp, то бифуркация наз. нормальной, и замкнутые траектории суть предельные циклы, к-рым соответствуют периодические по tрешения с конечными амплитудами порядка (Re-Re кp)1/2 и произвольными фазами. По предположению Л. Д. Ландау (1944), турбулентность образуется в результате последовательности нормальных бифуркаций и представляет собой квазипериодическое эргодическое течение с очень большим числом несоизмеримых частот колебаний и соответствующих степеней свободы — фаз колебаний. Если семейство замкнутых фазовых траекторий появляется еще при Re<Re кp, то бифуркация наз. обратной, предельные циклы неустойчивы (т. е. траектории с них сматываются); при они сжимаются и в пределе исчезают, а при Re>Re кp возмущения разрастаются со временем и, по-видимому, быстро приобретают непериодич. характер. Возможно, что в этом случае в фазовом пространстве имеется странный аттрактор, т. е. множество неблуждающих точек (у к-рых каждая окрестность пересекается с нек-рой траекторией по меньшей мере дважды), отличающихся от неподвижных точек и замкнутых траекторий и имеющих окрестности, в к-рых появляющиеся траектории все асимптотически приближаются к Существует гипотеза, что после четырех бифуркаций в фазовом пространстве течений жидкости появляется странный аттрактор, являющийся локально канторовым множеством двумерных поверхностей, попадание на к-рый и создает хаотичность течения, т. е. турбулентность. Однако доказательной теории бифуркаций для гидродинамич. систем еще не построено (см. [3]). Наиболее полным статистич. описанием турбулентного течения несжимаемой жидкости является задание вероятностной меры на функциональном пространстве возможных полей скорости и( х, t )или ее функционального преобразования Фурье — характеристич. функционала, напр. в спектральном представлении Для него из уравнений Навье — Стокса выводится линейное уравнение в вариационных производных (так что статистич. динамика турбулентности оказывается линейной), к-рое надлежит решать при заданном В частности, для пространственного характеристич. функционала дающего полное статистич. описание поля скорости в фиксированный момент времени t, получается уравнение Хопфа: где а — оператор вариационного дифференцирования по Это уравнение аналогично уравнению для вектора состояния в представлении Шрёдингера квантового бозе-поля с сильным взаимодействием специального вида (слияние двух бозонов в один): и суть операторы рождения и уничтожения квантов с импульсом k, а константой взаимодействия служит Re. Общих методов решения линейных уравнений в вариационных производных еще не создано. При теория возмущений не действует, хотя частичное суммирование диаграмм Фейнмана возможно (см. [2]). Решение можно записать в виде континуального интеграла, но общих методов для вычисления таких интегралов еще нет. Зато общим методом нахождения вероятностных мер для описания турбулентных течений может служить построение таких мер для галеркинских аппроксимаций уравнений Навье — Стокса: для семейства мер доказывается слабая компактность (см. [6]); этим методом, в частности, доказываются нек-рые теоремы существования и единственности решений Эквивалентная формулировка полного статистич. описания турбулентного течения заключается в задании всех конечномерных плотностей вероятности для значений и т=и( М т )поля скорости на всевозможных конечных наборах точек М т=(x т, tm) пространства-времени. Для них из уравнений Навье — Стокса выводятся (см. [5]) линейные уравнения где wk — перенесенное в точку М k условное математич. ожидание ускорения в точке ( х, tk )при условии, что значения и 1=и (М 1), . . ., и п=и( М n )фиксированы. Величины содержат интегралы по так что уравнения для fn образуют бесконечную цепочку (аналогичную Боголюбова цепочке уравнений). Интегрируя уравнение для по получают обобщенные уравнения Фридмана — Келлера где черточка — математич. ожидание. Это уравнение было выведено при так что — это n-точечный статистич. момент поля скорости порядка N=m1+. . .+mn. Уравнения для моментов образуют бесконечную цепочку (разрешимость к-рой доказывается с помощью галеркинских аппроксимаций уравнений Навье — Стокса). При N=1эти уравнения (уравнения Рейнольдса) получаются непосредственным осреднением уравнений Навье — Стокса и отличаются от таковых для осреднснного поля скорости появлением дополнительных неизвестных — одноточечных вторых моментов — плотность жидкости, штрихи обозначают отклонения от математич. ожиданий), называемых напряжениями Рейнольдcа. Простейшим способом замыкания системы уравнений Фридмана — Келлера является представление в виде функций от В т. н. полуэмпирич. теории турбулентности эти функции берутся линейными, и для их коэффициентов (имеющих смысл коэффициентов турбулентной вязкости) принимаются те или иные дополнительные предположения (напр., пропорциональность где l и b — масштаб и кинетич. энергия турбулентности в единице массы, для к-рых конструируются дополнительные уравнения — это делает реологию осредненного течения нелинейной и создает специфич. эффекты). При N=2получаются уравнения для двухточечных корреляционных функций ноля скорости (или их преобразований Фурье по (М 1 — M2 )-спектральных функций). Для их замыкания необходимы дополнительные предположения о входящих в них третьих моментах (см. [1], [5]). Наиболее естественные методы построения замкнутых уравнений для спектров турбулентности получаются обрезанием частично просуммированных диаграмм Фейнмана. Существенные геометрич. упрощения получаются в случае однородной и изотропной турбулентности. Эта модель важна, потому что всякая реальная турбулентность с очень большим числом Рейнольдса оказывается локально-стационарной, локально-однородной и локально-изотропной. При этом при фиксированной скорости диссипации кинетич. энергии статистич. структура трехмерного турбулентного течения с очень большим числом Рейнольдса в достаточно малых масштабах полностью определяется двумя параметрами и v, так что, напр., структурная функция скоростей при должна иметь вид где L — масштаб течения в целом, а — колмогоровский внутренний масштаб; в т. н. инерционном интервале масштабов параметр v выпадает, и функция обращается в константу. Если же учитывать флуктуации поля то колмогоровская автомодельность становится неполной, и структурная функция приобретает поправочный множитель (r/L)m с небольшим показателем. В двумерных точениях, кроме энергии, адиабатич. интегралом движения является еще средний квадрат вихря — энстрофия (так что вихревые нити не растягиваются) и, кроме параметров и v, появляется еще скорость вырождения энстрофии При этом от масштабов энергоснабжения энергия передается в сторону больших масштабов по колмогоровскому закону, а энстрофия — в сторону малых масштабов по нелокальному спектральному закону (см. [4]): Такими свойствами обладает крупномасштабная квазидвумерная турбулентность в атмосфере и в океане, образуемая синоптич. вихрями и волнами Россби — Блиновой. Роль вихря двумерного течения здесь играет т. н. потенциальный вихрь — скалярное произведение вихря абсолютной скорости на градиент энтропии. Уравнение для него в квазигеострофич. приближении получается в виде где — горизонтальные функция тока, лапласиан и якобиан, z — вертикальная координата, H и LR=HN/f — толщина слоя и лрадиус деформации