Тригонометрический Ряд

Ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида или в комплексной форме где ak, bk или, соответственно, ck наз. коэффициентами Т. р. Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера (L. Euler, 1744). Он получил разложения В сер. 18 в. в связи с исследованиями задачи о свободном колебании струны возник вопрос о возможности представления функции, характеризующей начальное положение струны, в виде суммы Т. р. Этот вопрос вызвал острые споры, продолжавшиеся несколько десятилетий, лучших аналитиков того времени — Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д'Аламбера (J. D'Alembert), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eu1ег). Споры относились к содержанию понятия функции. В то время функции обычно связывались с их аналитич. аданием, что приводило к рассмотрению только аналитических или кусочно аналитических функций. А здесь появилась необходимость для функции, графиком к-рой является достаточно произвольная кривая, построить Т. р., представляющий эту функцию. Но значение этих споров больше. Фактически в них обсуждались или возникли в связи с ними вопросы, связанные со многими принципиально важными понятиями и идеями математич. анализа вообще,- представление функций рядами Тейлора и аналитич. родолжение функций, использование расходящихся рядов, перестановка пределов, бесконечные системы уравнений, интерполирование функций многочленами и др. И в дальнейшем, как и в этот начальный период, теория Т. р. служила источником новых идей математи.