Торелли Теорема

Обобщения — теорема, утверждающая, что структура Ходжа (матрица периодов) в когомологиях алгебраического или кэлерова многообразия Х полностью характеризует поляризованное многообразие X. Классич. Т. т. относится к случаю кривых (см. [1], [2]) и утверждает, что кривая определяется с точностью до изоморфизма своими периодами. Пусть X — кривая рода — базис а — базис абелееых дифференциалов, -матрица где — матрица периодов. Пересечение циклов определяет билинейную кососимметрич. форму Qв Пусть Xи Х'- две кривые. Тогда если можно выбрать базисы и относительно к-рых матрицы периодов и матрицы пересечений Qкривых совпадают, то Xи X' изоморфны. Другими словами, если канонически поляризованные якобианы кривых Xи X' изоморфны, то и Пусть X — проективное многообразие (или, более общо, комнатное кэлерово многообразие), D=Dk- многообразие Гриффитса, связанное с примитивными когомологиями (см. Отображение периодов). В Dлежат матрицы периодов примитивных k-форм на всех многообразиях, гомеоморфных X. Периоды зависят от выбора изоморфизма в фиксированное пространство H. Имеется естественно определенная группа Г аналитич. автоморфизмов многообразия Dтакая, что М=D/ Г — аналитич. ространство и Xопределяет единственную точку При этом Мназ. модулярным пространством или пространством модулей структур Ходжа. Глобальная проблема Торелли состоит в выяснении вопроса о том. когда Ф (А) однозначно определяет Х с точностью до изоморфизма. В случае положительного решения проблемы соответствующее утверждение наз. (обобщенной) Т. т. Теорема Торелли справедлива очевидным образом для абелевых многообразий в случае 1-форм и в случае 2-форм (см. [3]). По существу, единственный нетривиальный случай решения глобальной проблемы Торелли (1984) — случай КЗ-поверхности. Т. т. обобщена также на случай кэлеровых КЗ-поверхностей. Локальная проблема Торелли заключается в разрешении вопроса о том, когда структуры Ходжа на когомологиях разделяют точки в локальном пространстве модулей (пространстве Кураниси) для многообразия А. Пусть — семейство поляризованных алгебраич. многообразий, a M=D/ Г — многообразие Гриффитса, связанное с периодами примитивных k-форм на А. Отображение периодов сопоставляет матрицу периодов k-форм на Это отображение голоморфно; вычислено соответствующее касательное отображение dФ (см. [3]). Локальная проблема Торелли эквивалентна вопросу о том, когда dФ является вложением. Рассматривая отображение, двойственное к dФ), получают когомологич. критерий справедливости локальной Т. т.: если отображение является эпиморфизмом, то периоды k-форм дают локальные модули для А. Локальная Т. т. для кривых эквивалентна тому, что квадратичные дифференциалы порождаются абелевыми дифференциалами. Теорема Нётера утверждает, что это так, если g=2 или g>2 и X негиперэллиптическая. Локальная Т. т., очевидно, справедлива в случае k=n, если канонич. класс тривиален. К таким многообразиям относятся абелевы многообразия, гиперповерхности степени п+2 в Pn+1, КЗ-поверхности. Справедливость локальной Т. т. установлена для различных классов многомерных многообразий. Для неособых гиперповерхностей степени dв Pn+1 доказано, что отображение периодов является вложением в общей точке за исключением случая n=2, d=3 и, возможно, случаев: dделит п+2, d=4 и n= 4. или d=6 и n= 6m+l (см. [4]). Лит.:[1] Torelli E., лRend. Accad. Lincei V