Топологическое Тензорное Произведение

Локально выпуклых пространств E1 и Е 2 — локально выпуклое пространство, обладающее свойством универсальности по отношению к заданным на билинейным операторам с нек-рым условием непрерывности. Точнее, пусть — нек-рый класс локально выпуклых пространств и для каждого задано подмножество Т(F)множества рездельно непрерывных билинейных операторов из в F. Тогда Т. т. п. E1 и Е 2 (относительно класса Т(F))наз. локально выпуклое пространство вместе с оператором обладающее следующим свойством: для любого существует единственный непрерывный линейный оператор такой, что Таким образом, если ситуация позволяет говорить о функторе то определено как представляющий объект этого функтора. Во всех известных (1985) примерах содержит поле комплексных чисел а содержит все билинейные функционалы вида переводящие ( х, у )в i(x) g(y). В этом случае, если Т. т. п. существует, то в есть плотное подпространство, к-рое можно отождествить с пространством алгебраического тензорного произведения;при этом Если состоит из всех раздельно (соответственно, совместно) непрерывных билинейных операторов, то Т. т. п. наз. индуктивным (соответственно, проективным). Наиболее важно проективное Т. т. п. Пусть — определяющие семейства полунорм в Е i, i=l, 2; через p обозначается топология в определенная семейством полунорм Тогда если — класс всех, соответственно, всех полных локально выпуклых пространств, то проективное Т. т. п. E1 и Е 2 существует и его локально выпуклое пространство есть с топологией соответственно, его пополнение. Если Ei — банаховы пространства с нормами р i, i=l, 2, то — норма в пополнение но к-рой обозначается через Элементы имеютдля каждого представление где Если снабдить более слабой, чем топологией с помощью семейства полунорм где Vи W — поляры единичных шаров относительно р1 и р 2, то возникает Т. т. п., иногда наз. слабым. Локально выпуклые пространства E1,обладающие тем свойством, что для любого Е 2 обе топологии в совпадают, образуют важный класс ядерных пространств. Проективное Т. т. п. связано с понятием свойства аппроксимации: локально выпуклое пространство Е 1 обладает свойством аппроксимации, если для каждого предкомпактного множества и окрестности нуля Uсуществует непрерывный оператор конечного ранга такой, что для всех Все ядерные пространства обладают свойством аппроксимации. Банахово пространство Е 1 обладает свойством аппроксимации тогда и только тогда, когда для любого банахова пространства Е 2 оператор однозначно определенный равенством имеет нулевое ядро. Построено [3] сепарабельное банахово пространство без свойства аппроксимации (и тем самым доказано существование банаховых пространств без базиса Шаудера, поскольку последние всегда имеют свойство аппроксимации,- т. о. отрицательно решена т. н. лпроблема базиса