Топологическая Группа

Множество G, на к-ром заданы две структуры — группы и топологич. пространства, согласованные условием непрерывности групповых операций. А именно, отображение прямого произведения в G должно быть непрерывным. Подгруппа Н Т. г. Gявляется Т. г. в индуцированной топологии. Факторпространство G/Н смежных классов снабжается фактортопологией относительно канонич. отображения группы G на G/Н. Если Н — нормальный делитель Т. г. G, то G/Н (факторгруппа группы Gпо Н) — Т. г. Примеры Т. г.: Векторная группа — прямое произведение пэкземпляров аддитивной группы действительных чисел с естественной топологией; окружность — факторгруппа группы по подгруппе целых чисел каждая Ли группа;произвольная абстрактная группа, снабженная дискретной топологией; произвольное топологическое векторное пространство. Как правило, пространства Т. г. предполагаются хаусдорфовыми. Факторпространство G/H хаусдорфово тогда и только тогда, когда подгруппа Н замкнута в G(в дальнейшем все рассматриваемые подгруппы будут предполагаться замкнутыми). Факторпространство G/H смежных классов регулярно. Однако существуют Т. г., пространства к-рых не являются нормальными (см. [7]). Т. г. наз. связной, вполне несвязной, компактной, локально компактной и т. п., если соответствующим свойством обладает ее топологич. пространство. Связная компонента единицы G0 Т. г. Gявляется нормальным делителем в G; G0 — наибольшая связная замкнутая подгруппа G. Факторгруппа G/G0 вполне несвязна. Локально компактная вполне несвязная группа обладает открытой компактной подгруппой. Если G — компактная вполне несвязная группа, то в каждой ее окрестности единицы содержится открытая нормальная в G подгруппа. Отсюда вытекает совпадение класса компактных вполне несвязных групп с классом проконечных групп, к-рые играют важную роль в теории Галуа, появляясь там в качестве групп Галуа бесконечных расширений полей, снабженных топологией Крулля. На всякой Т. г. естественным образом определяется структура равномерного пространства. А именно, левая групповая равномерная структура на Т. г. Gзадается совокупностью множеств где Uпробегает систему окрестностей единицы группы G; правая равномерная структура определяется симметрично. Топология получающегося равномерного пространства совпадает с исходной топологией группы. Существование равномерной структуры на Т. г. позволяет ввести и использовать понятия равномерной непрерывности (напр., для действительнозначных функций на Т. г.), последовательности Коши, полноты и пополнения. Локально компактная Т. г. полна в своей равномерной структуре. Следствием этого является тот факт, что локально компактная подгруппа хаусдорфовой Т. г. всегда замкнута. Существуют, однако, Т. г., к-рые даже не вкладываются в полные группы. На каждой локально компактной Т. г. G существует нетривиальная мера инвариантная относительно левых сдвигов (т. е. такая, что для любого измеримого по подмножества и каждого элемента подмножество хА измеримо и Такая мера наз. Хаара мерой;она единственна с точностью до постоянного множителя. Если Т. г. G компактна, то мера Хаара инвариантна также относительно правых сдвигов. Кроме того, в этом случае постоянный множитель можно подобрать так, чтобы это позволяет рассматривать соответствующий интеграл как среднее значение функции f(x)на G. Важнейшие применения меры Хаара относятся к теории непрерывных представлений. Интегрирование по мере Хаара позволило перенести на компактные группы значительную часть теории представлений конечных групп (напр., соотношения ортогональности для характеров или для матричных коэффициентов), а также Петера — Вейля теорему, полученную первоначально для групп Ли. Следствием этой теоремы является тот факт, что каждая компактная группа Gобладает полной системой конечномерных унитарных представлений (другими словами, для любого отличного от единицы элемента найдется такое представление что Существуют локально компактные группы, не имеющие нетривиальных конечномерных представлений. Содержательные результаты о строении Т. г. известны по существу лишь для локально компактных групп. В случае локально компактных абелевых групп имеет место следующая основная структурная теорема: каждая локально компактная абелева группа G представима в виде прямого произведения где Н — группа, обладающая открытой компактной подгруппой К. Этот результат является следствием теории двойственности для локально компактных абелевых групп (см. Понтрягина двойственность). С помощью этой теоремы исследование строения группы G в известном смысле сводится к вопросам о строении дискретных групп Н/К и где — группа характеров компактной группы К, т. е. к вопросам абстрактной теории групп. Определяющую роль в построении теории Т. г. сыграла пятая проблема Гильберта. Сформулированная в 1900 как проблема о локальных группах преобразований, эта проблема была в процессе развития теории Т. г. переосмыслена. Общепринятой стала следующая се формулировка: является ли всякая локально евклидова Т. г. группой Ли? (Т. г. наз. локально евклидовой, если она обладает окрестностью единицы, гомеоморфной евклидову пространству т. е. является топологич. многообразием.) Пятая проблема Гильберта была решена в 1952 (см. [6]). Существенным моментом явилось доказательство следующего критерия лиевости: локально компактная группа Gявляется группой Ли тогда и только тогда, когда G — группа без малых подгрупп (т. е. существует окрестность единицы G, не содержащая нетривиальных подгрупп). Было показано также, что локально компактная группа С с компактной факторгруппой G/G0 является проективным пределом групп Ли (или, эквивалентно, в каждой окрестности единицы группы Gсодержится нормальный делитель Nс факторгруппой G/N, являющейся группой Ли). Каждая окрестность единицы произвольной локально компактной группы содержит открытое подмножество вида где К — компактная подгруппа, L — связная локальная группа Ли. Проективная лиевость локально компактных групп Gс компактными факторгруппами G/G0 позволила перенести на такие группы ряд результатов, известных ранее для групп Ли (см. [8]).Напр., каждая компактная подгруппа из Gсодержится в нек-рой максимальной компактной подгруппе; любые две максимальные компактные подгруппы группы G сопряжены. Далее, если К — одна из максимальных компактных подгрупп в G, то существует такое множество однопараметрич. подгрупп i=l, . . ., п, что отображение, переводящее набор (k, l1, . . ., l п )впроизведение kll.. .1n, является гомеоморфизмом группы на G. После решения пятой проблемы Гильберта на первый план выдвинулась задача более детального изучения строения локально компактных групп, обладающих теми или иными дополнительными свойствами. Были исследованы классы групп, выделяемые нек-рыми условиями конечности, такими, напр., как условие конечности специального ранга, различные варианты условий максимальности и минимальности для подгрупп и т. п. (см. [5]). Была построена теория локально нильпотентных локально компактных групп. Большую часть полученных при этом результатов удалось позднее перенести на более широкий класс локально проективно нильпотентных групп [9]. Лит.:[1] Бурбаки Н., Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969; [2] Вейль А., Интегрирование в топологических группах и его применения, пер. с англ., М., 1950; [3] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [4] Xьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., т. 1, М., 1975; [5] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 123-60; [6] Глушков В. М., лУспехи матем. наук