Титса Система

Совокупность (G, В, N, S), где G — группа, Ви N — ееподгруппы, S — подмножество в причем выполнены следующие условия: (1) множество порождает группу G; (2) — нормальная подгруппа группы N; (3) множество Sпорождает группу W=N/T и состоит из элементов порядка 2; (4) для любых (5) Группа W, называемая группой Вeйля системы Титса (G, В, N, S). является Кокстера группой относительно системы образующих S. Соответствие является биекцией множества Wна множество двойных смежных классов группы Gпо В. Примеры. 1) G = GLn(k), где k — любое поле, В- подгруппа верхних треугольных матриц, N — подгруппа мономиальных матриц (так что Т — подгруппа диагональных матриц и W=Sn), S — множество транспозиций (i i+1), где i=l, 2, ... n -1. 2) Более общо, пусть G — связная редуктивная алгебраич. группа над k, Т — максимальный среди ее торов, диагонализируемых над k, N — его нормализатор, Z- его централизатор, R- система корней группы G относительно Т, W=N/Z- ее группа Вейля и S — множество отражений, соответствующих простым корням. Далее, пусть U — унипотентная подгруппа группы G, порожденная корневыми подгруппами, отвечающими положительным корням, и P=UZ. Тогда четверка (G(k), Р(k), N(k), S )является Т.c. 3) Пусть где — поле р-адических чисел, В — подгруппа, состоящая из матриц (где — кольцо целых p-адических чисел), у к-рых при i>l, и N — подгруппа мономиальных матриц. Тогда существует такое подмножество что четверка (G, В, N, S )является Т. с. Группа Wпри этом является бесконечной группой Кокстера типа Аналогично определяются Т. с. с группами Вейля аффинного типа, соответствующие другим связным редуктивным группам над локальными полями. При нек-рых условиях можно утверждать, что группа G, обладающая Т. с., проста. Напр., для этого достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: (1) группа Вразрешима и не содержится ни в какой собственной нормальной подгруппе группы G; (2) группа Gсовпадает со своим коммутантом; (3) группа Кокстера Wнеразложима; (4) группа Вне содержит никакой нетривиальной нормальной подгруппы группы G. Таким путем доказывается простота Шевалле групп (в частности, конечных). Лит.:[1] Tits J., Buildings of spherical type and finite BN-pairs, В.-N. Y., 1974; [2] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, гл. IV, пер. с франц., М., 1972. Э. Б. Винберг.