Свободное Произведение

В классе универсальных алгебр , из класса — алгебра Аиз класса , содержащая все А a. в качестве подалгебр и такая, что любой набор гомоморфизмов алгебр А a. в любую алгебру Виз продолжается до гомоморфизма алгебры Ав В. С . п. заведомо существует, если — многообразие универсальных алгебр. Каждая свободная алгебра является С. п. однопорожденных свободных алгебр. В классе всех абелевых групп С. п. совпадает с прямой суммой. В нек-рых случаях поддаются описанию подалгебры С. п.; напр., в группах (см. групп), неассоциативных алгебрах, алгебрах Ли. С. п. в категориях универсальных алгебр совпадает с копроизведением в этих категориях. Л. А. Скорняков.

∗∗∗

Г р у п п Gi, ,- группа G, порожденная группами Gi, причем любые гомоморфизмы групп Gi в любую группу Нпродолжаются до гомоморфизма Для обозначения С. п. используется знак *, напр.: в случае конечного множества I. Каждый не равный единице элемент С. п. G единственным образом выражается в виде несократимого слова , где , и при любом j=1,2, . . ., n-1, . Конструкция С. п. является важной в изучении групп, заданных множеством порождающих элементов и определяющих соотношений. В этих терминах оно может быть определено следующим образом. Пусть каждая группа Gi задана множествами Xi- порождающих и Ф i определяющих соотношений, причем , если . Тогда группа G,заданная множеством порождающих и множеством Ф определяющих соотношений, будет С. п. групп . Всякая подгруппа С. п. Gсама разлагается в С. п. своих подгрупп, из к-рых нек-рые являются бесконечными циклическими, а каждая из других сопряжена с нек-рой подгруппой какой-либо группы Gi, входящей в свободное разложение группы G(теорема К у р о ш а). Лит.:[1] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] М а г н у с В., К а р р а с А., С о л и т э р Д., Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1974. А. Л. Шмелъкин.