Свободная Алгебраическая Система

Свободный объект в нек-ром классе алгебраич. систем. Пусть — непустой класс алгебраич. систем (см. Алгебраических систем класс). Система Рназ. свободной в классе , или -свободной, если она принадлежит классу и обладает таким множеством Xпорождающих, что всякое отображение множества Xв любую систему Аиз продолжаемо до гомоморфизма . В этом случае говорят также, что fсвободна над Xвклассе . Множество порождающих Xс таким свойством наз. -свободным базисом системы F, а его мощность — рангом системы F, -свободные системы одного и того же ранга изоморфны. Если класс обладает свободной системой ранга r, то всякая система из , допускающая порождающее множество мощности , является ее гомоморфным образом. -свободный базис X -свободной системы является и ее минимальным порождающим множеством, поэтому если класс обладает изоморфными свободными системами Fи F' различных рангов r и r', то оба кардинала r и r' конечны. Класс алгебраич. систем наз. т р и в и а л ь н ы м, или в ы р о ж д е н н ы м, если в каждой его системе истинно тождество х=у, т. е. все его системы одноэлементны. В противном случае класс наз. нетривиальным, или невырожденным. Во всяком невырожденном квазимногообразии (многообразии) алгебраич. систем (см. Алгебраических систем квазимногообразие, Алгебраических систем многообразие )существует С. а. с. любого ранга. Всякий вырожденный класс алгебраич. систем обладает только свободной системой ранга 1. Пусть класс обладает свободными системами Fl и конечных рангов lи kсоответственно и k< l. Изоморфизм имеет место тогда и только тогда, когда существуют такие термы в сигнатуре класса , что в классе истинны тождества где i=1,. . ., l, j=1,. . ., k. Если же класс содержит конечную систему Амощности , то -свободные системы различных рангов не изоморфны. В частности, во всех многообразиях групп, полугрупп, решеток, ассоциативных колец свободные системы различных рангов не изоморфны. С другой стороны, в нек-рых многообразиях модулей (см. Свободный модуль )все свободные модули конечного ранга изоморфны. Существуют также многообразия алгебраич. систем конечного типа (см. Алгебраическая система), в к-рых все С. а. с. конечных рангов изоморфны между собой; напр., многообразие алгебр типа , определяемое тождествами Доказано (см. [3]), что в многообразиях алгебр с m-арными операциями j1;. . ., jn и n-арными операциями w1,.. ., w т, определяемых тождествами при фиксированных ти псвободные алгебры конечных рангов изоморфны тогда и только тогда, когда Существуют универсальные классы, не имеющие свободных систем. Примером такого класса может служить класс групп, определяемый универсальными формулами (кванторы опущены). Универсальный класс , обладающий свободной системой любого конечного ранга, имеет свободные системы любых рангов. Пусть — совместное множество универсальных формул G(х 1,. . ., х п )вида где G1,. . ., Gq — атомные формулы сигнатуры . Пусть Говорят, что обладает r-п о д с т а н о в о ч н ы м свойством , если для любой формулы G(х 1,. . ., х п )из и любых термов от rпеременных х 1,. . ., х r верно утверждение: В невырожденном универсальном классе , определяемом множеством универсальных формул , свободная система конечного ранга существует тогда и только тогда, когда обладает r-подстановочным свойством [4]. В частности, если все формулы из несократимы и содержит позитивную формулу с числом дизъюнктных членов , то универсальный класс не имеет свободных систем ранга . Напр., класс линейно упорядоченных групп в сигнатуре не имеет С. а. с. ранга . Лит.:[1] М а л ь ц е в А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] J o n s s o n В., Т а r s k i А., "Math. Scand.", 1961, v. 9, р. 95-101; [3] S w i e r e z k o w s k i S., "Fund. Math.", 1961, v. 50, № 1, р. 35-44; [4] G r a t z e r G., "Math. Nachr.", 1968, Вd 36, Н. 3/4, S. 135-40. Д. М. Смирнов.