Шура Лемма

Если Т, S- алгебраически неприводимые представления нек-рой группы или алгебры в векторных пространствах . и Yсоответственно, то любой сплетающий оператор для представлений Ти Sлибо равен нулю, либо взаимно однозначно отображает Xна Y(в этом случае Ти Sэквивалентны). Ш. л. установлена для конечномерных неприводимых представлений И. Шуром [1]. Аналогом Ш. л. является описание семейства сплетающих операторов для двух данных представлений. В частности, Ш. л. часто называется следующее утверждение: если Т, S- унитарные неприводимые представления нек-рой группы или симметричные неприводимые представления нек-рой алгебры в гильбертовых пространствах Xи Yсоответственно, то любой замкнутый линейный оператор из Xв У, сплетающий Ти S, либо равен пулю, либо унитарен (в этом случае Ти Sунитарно эквивалентны). Описание семейства сплетающих операторов для представлений, допускающих разложение в прямой интеграл, наз. континуальным аналогом Леммы Шура. А. И. Штерн. Следующие два предложения являются обобщениями Ш. л. для семейств операторов, действующих в бесконечномерных пространствах. Пусть Т х, S х- представления в гильбертовых пространствах и симметричного кольца R А: — линейный замкнутый оператор с нулевым ядром, плотными областью определения и областью значений. Если выполняются соотношения для всех то представления Т х и Sx унитарно эквивалентны. Пусть R — алгебра линейных непрерывных операторов в локально выпуклом пространстве Е, содержащая ненулевой компактный оператор и не имеющая нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств. Тогда любой оператор, перестановочный со всеми операторами алгебры R, кратен единичному оператору. В.