Супермногообразие

Обобщение понятия многообразия, в к-ром функции принимают значения в коммутативной супералгебре. Структура С. на дифференцируемом многообразии Мсо структурным пучком задается пучком коммутативных супералгебр над пучком причем любая точка обладает такой окрестностью U, что окольцованное пространство изоморфно где — внешняя алгебра с тнечетными образующими. Аналогично определяются аналитич. С. Дифференцируемые (или аналитические) С. образуют категорию, морфизмами к-рой служат морфизмы окольцованных пространств, четные на структурных пучках. Размерностью С. наз. пара (dim М, т). Суперобластью размерности ( п, т )наз. С. вида где — открытое подмногообразие в Каждое С. локально изоморфно суперобласти. Если Е — векторное расслоение над М, то пучок сечений расслоения определяет на Мструктуру С. Каждое дифференцируемое С. изоморфно С. вида (см. [1], в комплексно-аналитическом случае это неверно). В то же время морфизмов в категории С. больше, чем в категории векторных расслоений. С. можно задавать функтором точек, т. е. функтором из категории коммутативных супералгебр в категорию множеств, сопоставляющим супералгебре Смножество где Spec С — множество простых идеалов в С, снабженное естественным пучком супералгебр (см. Представимый функтор). На С. переносятся основные понятия анализа на дифференцируемых многообразиях (см. [3], [5]). Понятие С. возникло в теоретич. физике; оно позволяет объединять в единые мультиплеты частицы с Базе — Эйнштейна статистикой и Ферми — Дирака статистикой, а также объединять в единую супергруппу внутренние и динамические симметрии калибровочных теорий [4]. Лит.:[1] Batchelor M., лTrans. Amer. Math. Soc.