Сумматорная Функция

Функции f — функция обозначающая сумму значений f(n) на множестве натуральных чисел С. ф. являются одним из основных средств выражения разнообразных свойств числовых последовательностей. Примеры С. ф.: число простых чисел — Чебышева функция, число делителей всех и т. п. (см. [1], [2]). Основная задача состоит в том, чтобы найти возможно более точное асимптотич. выражение С. ф., а для С. ф., не имеющей асимптотики, наилучшую оценку ее модуля для больших значений х. В основе аналитич. методов изучения С. ф. лежат Коши интегральная теорема и Дирихле ряды вида Если такой ряд абсолютно сходится при то для нецелого справедливо тождество из к-рого, имея аналитич. родолжение F(s)переносом Пути интегрирования влево на нек-рое Re за счет оценок интеграла по новому контуру, получается соответствующая оценка для С. ф. f. В случае напр., интегрирование можно перенести на что дает формулу Римана — Мангольдтa для Из общих применений метода известна следующая теорема. Предположения: f(п), l п — комплексные числа, — действительные числа, — положительные числа, и v — целые числа Г — гамма-функция, 1) Для любого 2) Определенная для функция мероморфна во всей плоскости и имеет конечное число полюсов в полосе 3) Ряд абсолютно сходится при 4) Для 5) 6) Если положить то Для фиксированной полосы найдется постоянная такая, что и больших |t| имеет место оценка Заключение. Для любого имеют где R(х) — сумма вычетов функции для всех ее полюсов в полосе Лит.:[1] Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; [2] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964. А. Ф. Лаврик.