Субпроективное Пространство

Одно из обобщений пространств постоянной кривизны (проективного пространства). Определяется k-кратное проективное пространство аффинной связности, геодезические линии к-рого выражаются в нек-рой системе координат системой из (п — 1) уравнений, из к-рых ровно kлинейных. При k=n -2геодезич. линии являются плоскими, располагаясь в двумерных евклидовых плоскостях, и пространство наз. субпроективным, если все эти двумерные евклидовы плоскости проходят через общую точку или параллельны одному направлению (общая точка — бесконечно удаленная). Пусть А п есть n-мерное С. п. аффинной связности без кручения. В нек-рой проективной системе х i координат пространства А п коэффициенты связности имеют вид где — символ Кронекера, в этой системе координат все двумерные евклидовы плоскости, в к-рых расположены геодезич. линии An, проходят через начало координат. Вообще в С. п. А п существует канонич. система координат х i, вк-рой коэффициенты связности принимают наиболее простой вид Аналогично определяется риманово субпроективное пространство Vn, мет. рика к-рого приводится к одному из трех возможных видов: где здесь — произвольная функция координат х i, — функция величины — квадратичная форма от в 1) — линейная форма, а в 2) -квадратный корень из квадратичной формы, не являющейся полным квадратом. 3) Исключительный случай где — однородная функция 1-й степени от х n-1 и х n, и v — функции, связанные соотношением Функции и v не являются однородными функциями 1-й степени. Все эти три случая могут быть приведены путем выбора координат zi к единообразному виду: Все римановы С. п. Vn являются конформно-евклидовыми пространствами. Римановы С. п. принадлежат к классу полуприводимых римановых пространств и имеют специальное построение метрик. Существуют тензорные признаки конформно евклидовых С. п., выделяющие их из класса всех конформно евклидовых пространств. Всякое С. п. Vn (кроме случая 3) может быть реализовано на нек-рой гиперповерхности в евклидовом пространстве Е п+1 в случае 1) или на гиперповерхности вращения в En+1 в случае 2). Имеет место и обратное утверждение: всякая гиперповерхность вращения вокруг неизотропной оси в евклидовом пространстве En+1, n>2, представляет собой риманово С. ц. с метрикой вида 2). Движения в римановых С. п. Vn определяются обычным способом. С. p. Vn характеризуются тем, что если Vn не является пространством постоянной кривизны, то оно допускает максимальную нетранзитивную группу движений порядка и, наоборот, всякое риманово пространство Vn, допускающее максимальную нетранзитивную группу порядка является С. п. Римановы С. п. Vn являются максимально подвижными неэйнштейновыми пространствами (аналогичное место занимают пространства постоянной кривизны среди пространств Эйншейна). Понятие С. п. допускает следующее обобщение: пространство аффинной связности А n наз. обобщенным суб проективным пространством, если его геодезич. линии лежат в евклидовых плоскостях проходящих через фиксированную плоскость Er-1 (конечную или бесконечно удаленную). Лит.:[1] Каган В. Ф., Субпроективные пространства, М., 1961. Л. А. Сидоров.