Штурма — Лиувилля Уравнение

Обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка вида рассматриваемое на конечном или бесконечном интервале ( а, b)изменения переменном х, где р(х), l (х), r (х) — заданные коэффициенты, — комплексный параметр, a у — искомое решение. Если р(x),r (х) положительны и р(х)имеет первую производную, а р(х)r(х) — вторую производную, то с помощью подстановки Лиувилля (см. [1]) это уравнение сводится к стандартному виду Предполагается, что комплексная функция q(x) измерима в интервале ( а, b) и суммируема в каждом его внутреннем подинтервале. Наряду с уравнением рассматривается также неоднородное уравнение где f(x) — заданная функция. Если функция f(x)измерима в интервале ( а, b) и суммируема в каждом его внутреннем подинтервале, то каковы бы ни были комплексные числа с 0, с 1 и какова бы ни была внутренняя точка х 0 интервала ( а, b), уравнение (2) имеет в интервале ( а, b) одно и только одно решение удовлетворяющее условиям Для каждого функция является целой аналитич. цией В качестве точки х 0 можно взять также и конечный конец интервала ( а, b )(если этот конец регулярен). Пусть и — какие-нибудь два решения уравнения (1). Их вронскиан не зависит от хи равен нулю тогда и только тогда, когда эти решения линейно зависимы. Общее решение уравнения (2) представляется в виде где а 1, а 2 — произвольные постоянные, a — линейно независимые решения уравнения (1). Справедлива следующая фундаментальная теорема Штурма (см. [1]): пусть даны два уравнения . если q1(x), q2 (х) действительны и q1(x)<q2(x)во всем интервале ( а, b), то между каждыми двумя нулями любого нетривиального решения первого уравнения заключен, по крайней мере, один нуль каждого решения второго уравнения. Следующая теорема известна под названием теоремы сравнения (см. [1]): пусть левый конец интервала (a, b) конечен и и(х)есть решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям а v(x) — решение уравнения (4) с теми же условиями; кроме того, пусть q1(x)<q2(x)во всем интервале ( а, b); тогда если и(х)в интервале ( а,b) имеет тнулей, то v(x)втом же интервале имеет не меньше m нулей и k-й нуль v(х)меньше k- гонуля и(х). Одним из важных свойств уравнения (1) является существование для него так наз. операторов преобразования, имеющих простую структуру. Операторы преобразования возникли из общих алгебраич. соображений, связанных с теорией операторов обобщенного сдвига (преобразование базиса). Для уравнения (1) существуют следующие типы операторов преобразования. Пусть — решение уравнения удовлетворяющее условиям Оказывается, что это решение допускает представление где К( х,t) — непрерывная не зависящая от функция. причем Интегральный оператор I+ К, определенный формулой наз. оператором преобразования, сохраняющим условия в точке х=0. Он переводит функцию (решение простейшего уравнения — при условиях (6)) в решение уравнения (5) при тех же данных в точке х=0. Пусть и — решения уравнения (5), удовлетворяющие условиям Эти решения допускают представления где и — непрерывные функции. Введен (см.[8]|) новый вид операторов преобразования, сохраняющих асимптотику решений на бесконечности, а именно, оказалось, что для всех из верхней полуплоскости уравнение (5), рассматриваемое на полуоси при выполнении условия имеет решение представимое в виде где функция К( х, t )является непрерывной и удовлетворяет неравенству в к-ром Кроме того, Лит.:[1] Левитан Б. М., Саргсян И. С., Введение в спектральную теорию, М., 1970; [2] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [3] Левитан Б. М., Теория операторов обобщенного сдвига, М., 1973; [4] Марченко В. А., Операторы Штурма- Лиувилля и их приложения, К., 1977; [5] Dе1sarte J., лС. r. Acad. sci.