Штурма — Лиувилля Оператор

Самосопряженный оператор, порожденный дифференциальным выражением и подходящими граничными условиями в гильбертовом пространстве L2( а, b), где ( а, b) — конечный или бесконечный интервал, р', р, q- непрерывные действительные функции и р(х)>0 при всех (иногда так называют любой оператор, порожденный квазидифференциальным выражением вида l).Начиная с 1830 Ш. Штурм (Ch. Sturm) и Ж. Диувилль (J. Liouville) опубликовали ряд фундаментальных исследований по теории Штурма — Лиувчлля задачи на конечном интервале. Точка а наз. регулярным концом, если . конечно, и В противном случае эта точка наз. сингулярным концом. Выражение lназ. регулярным или сингулярным в зависимости от того, являются ли оба конца интервала ( а, b )регулярными или нет. Пусть D1 — множество функций таких, что f' — абсолютно непрерывна и — подмножество D1, состоящее из финитных функций. Пусть, далее, и L0 — замыкание оператора оператор L0 является симметрич. оператором и L0=L1. Ш.- Л. о. является расширением (сужением) оператора L(L1). I. Пусть lрегулярен, векторы линейно независимы и Тогда множество всех функций удовлетворяющих условиям i = l, 2, есть область определения нек-рого III.- Л. о. Обратно, область определения всякого Ш.- Л. о. можно найти этим способом. Среди граничных условий важное место занимают разделенные граничные условия (или граничные условия типа Штурма): и смешанные граничные условия: где В частности, если р(a)=р(b), то в случае условия (5) наз. периодическими, а в случае — антипериодическими (или полупериодическими). II. Пусть l сингулярен. Случай, когда оба конца (а, b)сингулярны, приводится к случаю с одним сингулярным концом методом расщепления. III. Пусть конец арегулярен, а . сингулярен и пусть число независимых решений уравнения принадлежащих L2(a, b), равно 1. Тогда говорят, что выражение lпринадлежит случаю предельной точки Войля в точке b. Область определения Ш.- Л. о. задается граничным условием (3). II2. Если число линейно независимых решений уравнения l[f] = if принадлежащих L.2(a, b), равно 2, то говорят, что выражение lпринадлежит случаю предельного круга Вейля в точке 6. Оператор L0 в этом случае имеет индексы дефекта (2,2). Область определения Ш.- Л. о. описывается аналогично I, заменяя условия (2) следующим образом: р(b) следует заменить на p(а), f(b) и f'(b)соответственно на (Sf)1(b) и (Sf)2(b), где здесь — вронскиан функций и в точке х, и i, i =1,2,- решения уравнения l [f]=0 с начальными условиями — символ Кронекера. Ядром резольвенты Ш.- Л. о. является Карлемана ядро, причем и случаях I и II2 резольвента является Гильберта — Шмидта интегральным оператором, а в случае II1 таковым может быть или не быть. Спектральное разложение Ш.- Л. о. в случае дискретности спектра (напр., в случаях I и II2) аналогично разложению в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля, а н остальных случаях содержит собственные функции, не принадлежащие L2(a, b). Большой интерес представляют задачи отыскания условий на коэффициенты ри q, при к-рых спектр III.- Л. о. дискретен, заполняет всю ось, выражение lпринадлежит случаю предельной точки или предельного круга. Достаточно общие необходимые и достаточные условия на р и q, обеспечивающие принадлежность . к случаю предельного круга или предельной точки (b = неизвестны (1984). Лит.:[1] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [2] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 3 изд., т. 2, Харьков, 1978; [3] Левитан Б. М., Саргсян И. С., Введение в спектральную теорию, М., 1970; [4] Марченко В. А., Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. К., 1977; [5] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер с англ., М., 1958: [6] Глазман И. М., Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, М., 1963; [7] Нutsоn V., Руm .Т., Applications of functional analysis and operators theory, L — N. У., 1980: [8] Титчмарш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. с англ., т. 1, М., 1960: [9] Мирзоев Г. А., лМатем. заметки