Структура
1) С., математическая структура,- родовое название, объединяющее понятия, общей чертой к-рых является то, что они применимы к множествам, природа элементов к-рых но определена. Чтобы определить С., задают отношения, в к-рых находятся элементы множества (типовая характеристика С.), затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют условиям — аксиомам С. Лит.:[1] Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963; [2] его же, Теория множеств, пер. с франц., М., 1965. М. И. Войцеховский. 2) С.- то же, что решетка. 3) С. на многообразии, геометрическая величина, поле геометрических объектов,- сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением коронеров многообразия М. Интуитивно геометрич. величину можно рассматривать как величину, значение к-рой зависит не только от точки хмногообразия М, но и от выбора ко репера — инфинитезимальной системы координат в точке х(см. Карта). Более подробно, пусть GLk(n) — общая дифференциальная группа порядка k(группа k-струй в нуле преобразований пространства сохраняющих начало координат), Mk- многообразие кореперов порядка k n -мерного многообразия М(т. е. многообразие k-струй локальных карт с началом в точке х=и-1(0)).Группа GLk(n)действует слева на многообразии Mk по формуле и это действие определяет в М k структуру главного GLk(n)-расслоения называемого расслоением кореперов порядка k. Пусть W — произвольное GLk(n)-многообразие, т. е. многообразие с левым действием группы GLk(n). Пусть, наконец, W(M)- пространство орбит левого действия группы GLk(n)в а — его естественная проекция на М. Расслоение (ассоциированное с Mk и W )наз. расслоением геометрических структур порядка и типа W, а его сечения — структурами типа W. С. типа . находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с GLk(n)-эквивариантными отображениями Таким образом, С. типа Wможно рассматривать как W-значную функцию Sна многообразии Mk k -реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности: Расслоение геометрич. объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия Мдействует как группа автоморфизмов Если Wесть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы GLk(n). то С. типа Wназ. линейными (соответственно аффинными). Основными примерами линейных С. 1-го порядка являются тензорные С., или тензорные поля. Пусть и — пространство тензоров типа ( р, q )с естественным тензорным представлением группы GLl(n) — GL(n). С. типа наз. тензорным полем типа ( р, q). Ее можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов М 1, сопоставляющую кореперу набор координат тензора относительно стандартного базиса пространства При линейном преобразовании корепера координаты преобразуются по тензорному представлению: Важнейшим примером тензорных С. являются векторное поле, дифференциальная, форма, риманова метрика, симплектическая структура, комплексная структура и, более общо, аффинор. Все линейные С. (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского [4]. Примером аффинной С. 2-го порядка служит аффинная связность без кручения, к-рую можно рассматривать как С. типа , где — ядро естественного гомоморфизма рассматриваемое как векторное пространство с естественным действием группы Широким и важным классом С. является класс инфинитезимально однородных структур, или G-структур, — структур типа W, где W=GLk(n)/G- однородное пространство группы GLk(n). Приведенное выше определение С. оказывается недостаточно общим и не охватывает ряд важных геометрич. С. — спинорную С., симплектическую спинорную С. и др. Естественное обобщение состоит в рассмотрении обобщенных G-структур — главных расслоений, гомоморфно отображающих на G-структуру, и сечений ассоциированных с ними расслоений. Лит.:[1] Рашевский П., лТр. сем. по вект. и тенз. анализу...