Стинрода Задача

Задача реализации циклов сингулярными многообразиями; поставлена Н. Стинродом (N. Steenrod, см. [1]). Пусть М — замкнутое ориентированное многообразие (топологическое, кусочно линейное, гладкое и т. д.), и пусть — его ориентация (здесь Н п (М) -n -мсриая гомологии группа многообразия М). Любое непрерывное отображение задает элемент С. з. состоит в описании тех гомологич. классов из X, называемых реализуемыми, к-рые получаются таким способом, т. е. имеют вид f*[M] для нeк-рых Миз данного класса. Все элементы групп Н 1 (Х)Н 2 (Х) реализуются. Лoбoй элемент группы Н п (Х), реализуется, но уже нек-рым отображением Пуанкаре комплекса Р. Кроме того, любой цикл можно реализовать псевдомногообразием. Можно также рассматривать неориентированные многообразия. Так, для гладких МС. з. состоит в описании образа гомоморфизма где — группа ориентированных бордизмов пространства. Открытая Р. Томом (R. Thom, [2]) связь бордизмов с Тома пространствами MSO(k)прояснила С. з., сведя ее к изучению отображений Был указан нереализуемый класс где X — Эйленберга — Маклейна пространство Для любого класса хнек-рые его кратные пх реализуются (гладкими многообразиями). Лит.:[1] Еi1еnbеrg S., лAnn. Math.