Стинрода Квадрат

Стационарная (стабильная) когомологическая операция Sqi, типа повышающая размерность на i. Это означает, что для каждого натурального пи каждой пары топологич. пространств (X, Y) задан такой гомоморфизм что где — кограничный гомоморфизм (стационарность) и f*Sqi — Sqif* для любого непрерывного отображения (естественность). С. к. Sqi обладает следующими свойствами: 1) Sq0=--id; 2) где — гомоморфизм Бокштейна, ассоциированный с короткой точной последовательностью групп коэффициентов 3) если i= dimx, то Sqix=x2; 4) если i>dimx, то Sqix=0; 5) (формула Картана) 6) (соотношения Адема) при а<2bSqa где — биномиальные коэффициенты mod 2. В формуле Картана умножение можно считать как внешним ( -умножением), так и внутренним -умножением). Она равносильна утверждению, что отображение определенное формулой является гоморфизмом колец. Из условия стационарности вытекает, что С. к. Sqi перестановочны с надстройкой и трансгрессией. Операции Sqi однозначно характеризуются свойствами 1), 3), 4), к-рые поэтому можно принять за определяющие их аксиомы. Конструктивное определение операций Sqi основывается на симплициальной структуре в группах цепей C*(X)и на существовании диагонального отображения Пусть W — минимальный ациклический свободный цепной -комплекс, т. е. цепной комплекс, для к-рого где Т — образующая группы Методом ацикличных носителей или явным построением (см. [4]) доказывается существование такого эквивариантного цепного отображения что для любого симплекса (символом здесь обозначен наименьший подкомплекс цепного комплекса содержащий элемент Пусть Любым двум коцепям ставится в соответствие формулой для любого симплекса коцепь наз. их -произведением. Для кограницы этой коцепи имеет место формула из к-рой следует, что формула корректно определяет нек-рый гомоморфизм к-рый не зависит от выбора отображения Аналогичным образом операции Sqi строятся и в других симплициальных структурах с диагональным отображением, напр. в когомологиях симплициальных абелевых групп, симплициальных алгебр Ли и т. п. Однако при этом сохраняются не все свойства С. к. Sqi (напр., вообще говоря, и единой общей теории обобщенных операций Sqi до сих пор (1984) нет (см. [5], [6]). Через С. к. и их аналоги при р>2 (см. Стинрода приведенная степень )выражаются многие когомологич. операции, действующие в группах когомологий с коэффициентами в группах и , Это определяет основополагающую роль, к-рую С. к. играют в алгебраич. топологии и ее приложениях. Напр., группы бордизмов вычисляются с помощью С. к. С. к. введен Н. Стинродом [4]. Лит.:[1] Стинрод Н., Эпстейн Д., Когомологические операции, пер. с англ., М., 1983; [2] Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., ГутенмахерВ. Л., Гомотопическая топология, 2 изд., М., 1969; [3] Мошер Р. Э., Тангора М. К., Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1970; [4] Stееnrоd N. Е., лAnn. Math.