Штейнера Система

Пара (V, B), где V — конечное множество из vэлементов, а В- совокупность k-подмножеств множества V(называемых блоками) такая, что каждое t-подмножество множества Vсодержится точно в одном блоке множества B(t<k). Число vназ. порядком Ш. с. S(t, k, v).III. с. является частным случаем блок-схемы, а также тактической конфигурации. Ш. с. с t=2 является уравновешенной неполной блок-схемой (ВIВ-схемой), а при y=s2+s+1, k=s+1 — конечной проективной плоскостью. Необходимым условием существования Ш. с. S(t, k, v )является условие того, что число должно быть целым при всех таких s, что Доказана достаточность этого условия при (k, t) = (3,2), (4,2), (5,2). (4,3) (см. [31, [4]). В 1844 У. Вулхаус (W. Woolhouse) поставил проблему существования Ш. с., а П. Киркман (P. Kirkman) в 1847 решил ее для k=3 (системы троек Штейнера). В 1853 Я. Штейнер (J. Steinеr, [1]) рассмотрел S(t,t+1,v). Для Ш. с. обычно рассматриваются задачи: 1) определения максимального числа попарно неизоморфных Ш. с. данного порядка v;2)существования Ш. с. с заданной группой автоморфизмов; 3) вложения частичных III. с. (не содержащих нек-рых t-подмножеств V)в конечную Ш. с.; 4) существования разрешимых Ш. с. (с В, представимой как объединение разбиений V);5) максимальной упаковки (минимального покрытия) полного множества k-подмножеств Vпопарно не пересекающимися S(t, k, v )(с помощью Ш. с.). Большинство результатов по Ш. с. относятся к небольшим значениям kи t(см. [2] — [4]). Лит.:[1] Stеinеr J., лJ. reine und angew. Math.